---

Вот список ключевых теорем, которые составляют фундамент олимпиадной математики, разбитый по разделам:
1. Теория чисел (Основа основ)
Малая теорема Ферма: Если 
 — простое и 
 не делится на 
, то 


.
Теорема Эйлера: Обобщение Ферма: 


, где 



 — функция Эйлера.
Теорема Вильсона: 







 тогда и только тогда, когда 
 — простое.
Китайская теорема об остатках (КТО): Позволяет решать системы линейных сравнений.
Теорема Лагранжа (о многочленах): Многочлен степени 
 по модулю простого 
 имеет не более 
 корней.
2. Алгебра и неравенства
Неравенство о средних (AM-GM): Среднее арифметическое 
 среднему геометрическому.
Неравенство Коши-Буняковского-Шварца: 









.
Теорема Безу: Остаток от деления многочлена 



 на 



 равен 



.
Формулы Виета: Связь корней многочлена с его коэффициентами.
Неравенство Йенсена: Для выпуклых функций.
3. Геометрия
Теоремы Чевы и Менелая: Главные инструменты для доказательства коллинеарности точек и пересечения прямых в одной точке.
Теорема о бабочке: Классика задач на вписанные четырехугольники.
Теорема Птолемея: Для вписанного четырехугольника: 


.
Свойство радикальной оси: Геометрическое место точек с равными степенями относительно двух окружностей.
Теорема Симсона: О проекциях точки описанной окружности на стороны треугольника.
4. Комбинаторика и Графы
Принцип Дирихле: Если 

 кролик сидит в 
 клетках, то хотя бы в одной — минимум два кролика.
Лемма об охо рукопожатиях: Сумма степеней всех вершин графа четна и равна 
.
Формула Эйлера для планарных графов: 



.
Принцип включений-исключений: Для подсчета количества элементов в объединении множеств.
5. Комбинаторная геометрия / Матанализ (редко, но метко)
Формула Пика: Площадь многоугольника на решетке: 



.
Теорема Коши (в контексте многогранников): О жесткости выпуклых многогранников.
Какой из этих разделов вызывает у тебя больше всего трудностей? Могу разобрать конкретную теорему с примером задачи.