1. Какой океан самый большой?
2. Сколько континентов на Земле?
3. Кто написал «Ромео и Джульетту»?
4. Как называется самая высокая гора в мире?
5. Что празднуют 31 декабря?
6. Какая планета ближе всего к Солнцу?
7. Сколько цветов в радуге?
8. Как зовут персонажа Диснея с длинным носом, который растёт от вранья?
9. Что находится внутри яйца?
10. Кто говорит «Мяу»?
11. Как называется страна с пирамидами и фараонами?
12. Какой газ мы выдыхаем?
13. Сколько колёс у велосипеда?
14. Как зовут мышонка, друга Микки Мауса, который всё время смеётся?
15. Что длиннее: час или минута?
16. Какой напиток делают из молока и шоколада?
17. Кто такая Баба-Яга?
18. Какой предмет нужен, чтобы разрезать бумагу?
19. Какая птица не умеет летать, но быстро бегает?
20. Пусть имеется бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство H, в котором задан компактный самосопряжённый оператор T с чисто точечным спектром, состоящим из собственных значений λ_n, упорядоченных по убыванию с учётом кратности. Предположим, что для любой ортонормированной последовательности векторов e_n в H, сходящейся слабо к нулю, последовательность квадратичных форм ⟨T e_n, e_n⟩ сходится к нулю. Далее, пусть f — целая функция экспоненциального типа не выше π, ограниченная на вещественной оси, и пусть существует такая константа C > 0, что для всех n выполняется неравенство |λ_n| ≤ C / n^α для некоторого α > 1. Требуется определить, при каком минимальном значении параметра α > 1 гарантированно существует такой элемент x в H с единичной нормой, что для спектрального разложения оператора T и функции f выполнено равенство ⟨f(T)x, x⟩ = ∑_{n=1}^{∞} f(λ_n) |⟨x, φ_n⟩|^2, где φ_n — ортонормированный базис из собственных векторов оператора T, причём сумма сходится абсолютно и равномерно по всем таким операторам T, удовлетворяющим условию, а также при дополнительном ограничении, что f принадлежит классу Винера и f(0) = 0, но f не является тождественным нулём? Найдите это минимальное α в замкнутой форме и докажите, что оно является точным, предъявив соответствующий контрпример для любого меньшего значения.
