---

Практическая работа 
 Вычисление вероятностей событий по формуле  полной вероятности. Формула Байеса

Задание:
	Ознакомиться с краткими теоретическими сведениями, письменно ответить на контрольные вопросы.
	Разобрать примеры решения практических задач, записать их в тетрадь
	Решить задачи №1-5.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы
 по теме практической  работы 

           Формула полной вероятности часто используется на практике в задачах экономического анализа и в научно-исследовательских работах.
           Пусть имеются события Н1, Н2,…, Нn , образующие полную группу, и известны вероятности Р(Н1), Р(Н2),…, Р(Нn) ,    этих событий, причем  в силу их несовместности, имеем:
                    ∑_(i=1)^n▒〖P(H_i )=1〗                                              (1)
           Будем называть эти события гипотезами, если некоторое событие А может произойти или нет лишь вместе с одним из этих событий, и при этом известны условные вероятности наступления события А совместно с каждой из гипотез:
                                    
           В этом случае следует вычислять вероятность наступления события A  по формуле полной вероятности:
                                           
           Вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез H_1,H_2,H_3,…,H_nна соответствующие условные вероятности события А при условии наступления соответствующей гипотезы.
По формуле полной вероятности можно вычислять, например, вероятность попадания на сборку стандартной детали из общей партии деталей, изготовленных на нескольких станках, если для каждого станка известны его доля в общем выпуске деталей и процент стандартных деталей в общем числе выпускаемых деталей, а также другие аналогичные задачи.


 
Примеры по выполнению практической работы

           Пример 1.    Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в пе-риод экономического роста, равна 0,04, а в период эконо¬мического кризиса – 0,13. Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?

Решение:  обозначим А – событие, со – стоящее в том, что клиент банка не вернет полученный кредит. Это может произойти совместно с одной из заданных гипотез:      Н  – экономический рост;     Н  – экономический кризис.
По условию задачи:    P(Н ) = 0,65;            Р(Н ) = 0,35;
                                    PН (A ) = 0,04;        РН (A) = 0,13.
Используем формулу полной вероятности:
   Р(А) = Р(Н )P Н (A ) + Р(Н ) Р Н (A) = 0,65 • 0,04 + 0,35 • 0,13 = 0,0715.

           Пример 2.  В учебном пособии по физике имеется 45 задач к первому разделу, 30 задач ко второму и 35 задач к третьему разделу дисциплины. Шансы студента правильно решить за¬дачу из первого раздела оцениваются в 80%, из второго – в 65 %, из третьего – 85%. Студент наудачу открывает по¬собие. Определите вероятность, что он решит случайно выб¬ранную задачу.
Решение: обозначим А – событие, состоящее в том, что студент решит случайно выбранную задачу. Это может произойти совместно с одной из следующих гипотез:
    H - задача из первого раздела;  H - задача из второго раздела;  H  - задача из третьего раздела.  Определим вероятности гипотез:
        P (H ) =   =  ≈ 0,409;   P (H ) =   =   ≈ 0,273; 
        P (H ) =   =   ≈ 0,318;
Запишем условные вероятности:
        P Н  (A) = 0,8;               Р Н  (A) = 0,65;               Р H  (A) = 0,85.
      Для вычисления вероятности того, что студент решит за¬дачу, используем формулу полной вероятности:
     Р(А)=Р(Н )PН (A )+Р(Н )РН (A)+Р(Н )РH (A)= 0,409 • 0,8+ 0,273 • 0,65+ +0,318 • 0,85 = 0,77495

Задачи
1. Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин страдают дальтонизмом.  Найти вероятность того, что наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом;   
2.  На сборку  поступают детали с трех автоматов. Первый дает в среднем 0,2 % брака, второй – 0,1 % брака, , продукция, поступающая с третьего автомата, не содержит бракованных изделий. На сборку поступило 2000 изделий с первого автомата, 3000 деталей со второго автомата и 5000 изделий с третьего автомата.  Найти вероятность того, что деталь, наугад выбранная из всех деталей,  будет бракованной.
           3.  Из первой урны, содержащей 8 белых и 4 черных шара, наугад переложили один шар во вторую урну, содержащую 2  белых и 3 черных шара. Затем из второй урны наугад извлекли один шар.    Какова вероятность того, что извлеченный из второй урны шар оказался белым?
4. В каждой из трех урн  содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.
5.  Курортная гостиница планирует наплыв отдыхающих в течение летнего времени и проводит бронирование но¬меров. Поскольку в этом виде бизнеса очень высокая конкуренция, то важно, чтобы все номера были заняты отдыхающими. Руководство гостиницы предполагает, что вероятность того, что в июле гостиница будет за¬полнена, если погода будет солнечная, равна 0,92, если погода будет дождливая, – 0,72. По оценкам синопти¬ков, в течение июля будет 75% солнечных дней. Чему равна вероятность того, что гостиница будет заполнена в течение июля?



Контрольные вопросы;
1. Какая группа событий называется полной?
2. Чему равна сумма вероятностей полной группы случайных событий?
3. Какие события называют гипотезами? Чему равна сумма вероятностей гипотез?
5. Для каких случайных событий вероятность определяется по формуле  полной вероятности? 
6. Назовите формулу вычисления полной вероятности и поясните ее смысл.