https://pastein.ru/t/aNa
Загрузка данных
<!DOCTYPE html>
<html lang="ru">
<head>
<meta charset="UTF-8">
<title>Расчёт мощности диссипации в проводящей стенке конечной толщины</title>
<script>
MathJax = {
tex: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']],
displayMath: [['$$','$$'], ['\\[','\\]']] },
svg: { fontCache: 'global' }
};
</script>
<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-svg.js"></script>
<style>
body { font-family: "DejaVu Serif", Georgia, "Times New Roman", serif;
max-width: 980px; margin: 2em auto; padding: 0 1.2em;
line-height: 1.6; color: #1a1a1a; font-size: 16px; }
h1 { font-size: 1.55em; border-bottom: 3px solid #333; padding-bottom: .35em; margin-bottom: .6em; }
h2 { font-size: 1.25em; margin-top: 2.2em; border-bottom: 1px solid #888; padding-bottom: .2em; }
h3 { font-size: 1.08em; margin-top: 1.5em; color: #222; }
h4 { font-size: 1.0em; margin-top: 1.2em; color: #333; font-style: italic; }
table { border-collapse: collapse; width: 100%; margin: 1em 0; font-size: .94em; }
th, td { border: 1px solid #b0b0b0; padding: .45em .65em; text-align: left; vertical-align: top; }
th { background: #ececec; font-weight: bold; }
td.num { text-align: right; font-variant-numeric: tabular-nums; }
code { background: #f4f4f4; padding: .08em .32em; border-radius: 3px; font-size: .93em; }
.note { background: #f7f9fc; border-left: 3px solid #4a6fa5; padding: .7em 1em; margin: 1em 0; }
.warn { background: #fdf3f3; border-left: 3px solid #a83232; padding: .7em 1em; margin: 1em 0; }
.add { background: #f4faf4; border-left: 3px solid #3b7a3b; padding: .7em 1em; margin: 1em 0; }
ul, ol { margin: .55em 0 .55em 1.5em; }
li { margin: .15em 0; }
.small { font-size: .92em; color: #444; }
hr { border: none; border-top: 1px solid #ccc; margin: 2em 0; }
</style>
</head>
<body>
<h1>Расчёт мощности диссипации в проводящей стенке конечной толщины:<br>
интерференционная модель скин-слоя</h1>
<p><b>Аннотация.</b> В работе выполнен полный аналитический расчёт мощности джоулевой диссипации в проводящей стенке конечной толщины \(d\). В отличие от предельных случаев тонкой (\(d \ll \delta\)) и бесконечно толстой (\(d \gg \delta\)) стенки, здесь последовательно учитывается отражение поля от внешней границы стенки при \(z = d\). Получено точное выражение для \(B_y(z)\) через гиперболические функции, найдена плотность тока \(j_z(z)\), вычислена мощность \(P(\omega)\) в виде произведения корневой зависимости на интерференционный фактор \(F(D)\), где \(D = d/\delta\). Показано, что \(F(D)\) имеет бесконечную последовательность экстремумов при \(D = n\pi/2\), \(n = 1, 2, 3, \dots\). Первые три экстремума (минимум при \(D = \pi/2\), максимум при \(D = \pi\), минимум при \(D = 3\pi/2\)) вычислены с полной арифметикой. Дана физическая интерпретация: осцилляции \(F(D)\) обусловлены интерференцией прямой волны, затухающей вглубь стенки, с волной, отражённой от внешней границы. Вторая часть работы содержит расширение модели на случай вакуумного зазора между плазмой и стенкой.</p>
<hr>
<h2>Часть I. Исходная постановка: стенка конечной толщины</h2>
<h2>1. Постановка задачи</h2>
<h3>1.1. Физическая постановка</h3>
<p>Рассматривается задача о проникновении низкочастотного возмущения магнитного поля в проводящую немагнитную стенку конечной толщины \(d\). Стенка разделяет две области: со стороны внутренней поверхности \(z = 0\) находится плазма, являющаяся источником возмущения; со стороны внешней поверхности \(z = d\) — вакуум, в котором поле практически отсутствует. Возмущение предполагается гармоническим во времени с частотой \(\omega\) и имеет вид, характерный для резистивной моды (RWM) типа "срыва" (tearing-like) с одним выделенным волновым числом вдоль поверхности стенки.</p>
<p>В силу геометрии (плоский слой, поперечный размер много меньше продольного) задача сводится к одномерной: все величины зависят только от координаты \(z\), направленной поперёк стенки. Магнитное поле возмущения параллельно поверхности стенки и имеет единственную ненулевую компоненту \(B_y(z, t)\). Индуцированное электрическое поле и плотность тока направлены вдоль \(z\).</p>
<p>Цель расчёта — определить мощность джоулевых потерь в стенке \(P(\omega)\) как функцию частоты и выявить интерференционные эффекты, связанные с конечностью толщины стенки.</p>
<h3>1.2. Геометрия и координаты</h3>
<p>Введём декартову систему координат, в которой:</p>
<ul>
<li>ось \(z\) направлена поперёк стенки, от внутренней поверхности к внешней;</li>
<li>ось \(y\) направлена вдоль поверхности стенки (в плоскости, касательной к плазме);</li>
<li>ось \(x\) направлена вдоль второй касательной (в рассматриваемой задаче не участвует, поскольку поле однородно вдоль \(y\) и не зависит от \(x\)).</li>
</ul>
<p>Стенка занимает область \(0 \le z \le d\). Её внутренняя поверхность \(z = 0\) граничит с плазмой, внешняя \(z = d\) — с вакуумом.</p>
<p>Вектор магнитного поля возмущения:</p>
$$\mathbf{B}(z, t) = B_y(z)\,e^{-i\omega t}\,\mathbf{e}_y,$$
<p>где \(\mathbf{e}_y\) — единичный вектор вдоль оси \(y\).</p>
<p>Вектор плотности тока, индуцированного в стенке:</p>
$$\mathbf{j}(z) = j_z(z)\,\mathbf{e}_z,$$
<p>где \(\mathbf{e}_z\) — единичный вектор вдоль оси \(z\).</p>
<h3>1.3. Основные предположения</h3>
<ol>
<li>Квазистационарное приближение: током смещения в уравнениях Максвелла пренебрегается, что справедливо при \(\omega \ll \sigma/\varepsilon_0\).</li>
<li>Стенка немагнитна: магнитная проницаемость равна \(\mu_0\).</li>
<li>Проводимость \(\sigma\) однородна по толщине стенки и не зависит от частоты.</li>
<li>Поле на внутренней поверхности задано и равно \(b_0\).</li>
<li>Поле на внешней поверхности для достаточно толстой стенки практически отсутствует (за стенкой вакуум, скин-слой не доходит до внешней границы). Это приближение выполняется при \(D \gg 1\); ниже оно будет проверено и уточнено.</li>
<li>Зависимость от времени — гармоническая: \(\exp(-i\omega t)\).</li>
</ol>
<h3>1.4. Формализация задачи</h3>
<p>Задача состоит из трёх связанных подзадач:</p>
<ol>
<li><b>Краевая задача для поля.</b> Найти распределение \(B_y(z)\) в области \(0 \le z \le d\), удовлетворяющее уравнению диффузии и граничным условиям \(B_y(0) = b_0\), \(B_y(d) \approx 0\).</li>
<li><b>Плотность тока.</b> Из найденного поля \(B_y(z)\) вычислить \(j_z(z)\) по закону Ампера.</li>
<li><b>Мощность диссипации.</b> Проинтегрировать \(j_z^2(z)/\sigma\) по толщине стенки и представить результат в виде произведения корневой зависимости \(\propto \sqrt{\omega}\) на интерференционный фактор \(F(D)\), где \(D = d/\delta\).</li>
</ol>
<p>Дополнительно требуется:</p>
<ol start="4">
<li>Определить положение и тип экстремумов \(F(D)\) (и, соответственно, \(P(\omega)\)).</li>
<li>Вычислить первые три экстремума с полной арифметикой.</li>
<li>Дать физическую интерпретацию осцилляциям \(F(D)\) как результату интерференции прямой и отражённой волн.</li>
</ol>
<h3>1.5. Сводная таблица обозначений</h3>
<table>
<tr><th>Величина</th><th>Обозначение</th><th>Смысл</th><th>Значение / условие</th></tr>
<tr><td>Толщина стенки</td><td>\(d\)</td><td>размер по \(z\)</td><td>задано; \(0 \le z \le d\)</td></tr>
<tr><td>Внутренняя поверхность</td><td>\(z = 0\)</td><td>граница с плазмой</td><td>\(B_y(0) = b_0\)</td></tr>
<tr><td>Внешняя поверхность</td><td>\(z = d\)</td><td>граница с вакуумом</td><td>\(B_y(d) \approx 0\)</td></tr>
<tr><td>Проводимость</td><td>\(\sigma\)</td><td>свойство материала стенки</td><td>задано</td></tr>
<tr><td>Магнитная проницаемость</td><td>\(\mu_0\)</td><td>вакуумная</td><td>константа</td></tr>
<tr><td>Поле на внутренней поверхности</td><td>\(b_0\)</td><td>амплитуда возмущения</td><td>задано</td></tr>
<tr><td>Частота</td><td>\(\omega\)</td><td>гармоническая зависимость</td><td>\(e^{-i\omega t}\)</td></tr>
<tr><td>Скин-слой</td><td>\(\delta\)</td><td>глубина проникновения</td><td>\(\delta = \sqrt{2/(\mu_0\sigma\omega)}\)</td></tr>
<tr><td>Безразмерная толщина</td><td>\(D\)</td><td>параметр задачи</td><td>\(D = d/\delta\)</td></tr>
<tr><td>Волновое число</td><td>\(k\)</td><td>комплексное</td><td>\(k = (1-i)/\delta\)</td></tr>
<tr><td>Поле в стенке</td><td>\(B_y(z)\)</td><td>искомая функция</td><td>определяется из краевой задачи</td></tr>
<tr><td>Плотность тока</td><td>\(j_z(z)\)</td><td>индуцированный ток</td><td>из закона Ампера</td></tr>
<tr><td>Мощность диссипации</td><td>\(P(\omega)\)</td><td>джоулевы потери</td><td>искомая величина</td></tr>
<tr><td>Интерференционный фактор</td><td>\(F(D)\)</td><td>множитель в \(P(\omega)\)</td><td>определяется ниже</td></tr>
<tr><td>Скин-время</td><td>\(\tau_{\text{sk}}\)</td><td>характерное время</td><td>\(\tau_{\text{sk}} = \mu_0\sigma d^2\)</td></tr>
</table>
<h3>1.6. Дано</h3>
<ul>
<li>Проводящая стенка толщиной \(d\), занимающая область \(0 \le z \le d\).</li>
<li>Внутренняя поверхность (со стороны плазмы) при \(z = 0\), внешняя — при \(z = d\).</li>
<li>Проводимость \(\sigma\), магнитная проницаемость \(\mu_0\).</li>
<li>Возмущение магнитного поля на внутренней поверхности: \(B_y(0) = b_0\).</li>
<li>Внешняя граница стенки граничит с вакуумом; для толстой стенки поле там практически отсутствует: \(B_y(d) \approx 0\).</li>
<li>Временная зависимость: \(\exp(-i\omega t)\).</li>
<li>Толщина скин-слоя: \(\delta = \sqrt{2/(\mu_0\sigma\omega)}\).</li>
<li>Безразмерный параметр толщины: \(D = d/\delta\).</li>
</ul>
<h3>1.7. Найти</h3>
<ol>
<li>Точное распределение \(B_y(z)\) в стенке конечной толщины.</li>
<li>Плотность тока \(j_z(z)\).</li>
<li>Мощность диссипации \(P(\omega)\) с учётом интерференции.</li>
<li>Число и положение экстремумов \(P(\omega)\).</li>
<li>Полную арифметику первых трёх экстремумов.</li>
</ol>
<h3>1.8. Векторы и оси</h3>
<p>Задача одномерна: единственная геометрическая координата — \(z\), поперёк стенки. Магнитное поле направлено вдоль поверхности стенки, плотность тока — поперёк.</p>
<table>
<tr><th>Объект</th><th>Обозначение</th><th>Направление</th><th>Роль</th></tr>
<tr><td>Координата</td><td>\(z\)</td><td>поперёк стенки</td><td>единственная геом. ось</td></tr>
<tr><td>Магнитное поле</td><td>\(\mathbf{B} = B_y(z)\,\mathbf{e}_y\)</td><td>вдоль \(y\) (вдоль поверхности)</td><td>компонента \(B_y\)</td></tr>
<tr><td>Плотность тока</td><td>\(\mathbf{j} = j_z(z)\,\mathbf{e}_z\)</td><td>вдоль \(z\) (поперёк стенки)</td><td>зависит от \(z\)</td></tr>
<tr><td>Базис</td><td>\(\mathbf{e}_y,\ \mathbf{e}_z\)</td><td>—</td><td>единичные векторы</td></tr>
<tr><td>Волновое число</td><td>\(k = (1-i)/\delta\)</td><td>комплексное, вдоль \(z\)</td><td>затухание и фаза</td></tr>
</table>
<h2>2. Уравнение диффузии и его общее решение</h2>
<p>Из уравнений Максвелла в квазистационарном приближении для \(B_y(z,t) = B_y(z)\,e^{-i\omega t}\):</p>
$$\frac{d^2 B_y}{dz^2} = -i\mu_0\sigma\omega B_y = -\frac{2i}{\delta^2}B_y.$$
<p>Характеристическое уравнение \(r^2 = -2i/\delta^2\) даёт корни:</p>
$$r_{1,2} = \pm\frac{1-i}{\delta} \equiv \pm k, \qquad k = \frac{1-i}{\delta}.$$
<p>Общее решение:</p>
$$B_y(z) = C_1 e^{kz} + C_2 e^{-kz}.$$
<h2>3. Граничные условия для стенки конечной толщины</h2>
<p><b>Условие 1.</b> На внутренней поверхности (\(z = 0\)):</p>
$$B_y(0) = C_1 + C_2 = b_0. \qquad (1)$$
<p><b>Условие 2.</b> На внешней поверхности (\(z = d\)): поле практически отсутствует, поскольку за стенкой вакуум, а скин-слой не доходит до внешней границы. Приближённо:</p>
$$B_y(d) = C_1 e^{kd} + C_2 e^{-kd} = 0. \qquad (2)$$
<h3>3.1. Решение системы для \(C_1, C_2\)</h3>
<p>Из (2) выражаем \(C_2\):</p>
$$C_2 = -C_1 e^{2kd}.$$
<p>Подставляем в (1):</p>
$$C_1(1 - e^{2kd}) = b_0 \;\Longrightarrow\; C_1 = \frac{b_0}{1 - e^{2kd}}.$$
$$C_2 = -\frac{b_0 e^{2kd}}{1 - e^{2kd}}.$$
<h3>3.2. Приведение к гиперболическому виду</h3>
<p>Подставляем \(C_1, C_2\) в общее решение:</p>
$$B_y(z) = \frac{b_0}{1 - e^{2kd}}\left[e^{kz} - e^{k(2d-z)}\right].$$
<p>Умножим числитель и знаменатель на \(e^{-kd}\):</p>
$$B_y(z) = b_0\frac{e^{-k(d-z)} - e^{k(d-z)}}{e^{-kd} - e^{kd}}
= b_0\frac{\sinh\big(k(d-z)\big)}{\sinh(kd)}.$$
<div class="note">
<b>Точное решение для поля в стенке конечной толщины:</b>
$$B_y(z) = b_0\,\frac{\sinh\big(k(d-z)\big)}{\sinh(kd)},\qquad k = \frac{1-i}{\delta}.$$
</div>
<p><b>Проверка предельных случаев:</b></p>
<ul>
<li>При \(z = 0\): \(\sinh(kd)/\sinh(kd) = 1\), значит \(B_y(0) = b_0\).</li>
<li>При \(z = d\): \(\sinh(0)/\sinh(kd) = 0\), значит \(B_y(d) = 0\).</li>
</ul>
<h2>4. Плотность тока в стенке конечной толщины</h2>
<p>Из \(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{j}\) для \(\mathbf{B} = B_y(z)\,\mathbf{e}_y\):</p>
$$j_z(z) = -\frac{1}{\mu_0}\frac{dB_y}{dz}.$$
<p>Дифференцируем \(B_y(z) = b_0\sinh(k(d-z))/\sinh(kd)\):</p>
$$\frac{dB_y}{dz} = b_0\,\frac{-k\cosh\big(k(d-z)\big)}{\sinh(kd)}.$$
<p>Следовательно:</p>
<div class="note">
<b>Плотность тока в стенке конечной толщины:</b>
$$j_z(z) = \frac{k\,b_0}{\mu_0}\,\frac{\cosh\big(k(d-z)\big)}{\sinh(kd)},\qquad k = \frac{1-i}{\delta}.$$
</div>
<h2>5. Мощность диссипации: точное выражение</h2>
<p>Мощность джоулевых потерь на единицу площади стенки:</p>
$$P = \int_0^d \frac{|j_z(z)|^2}{\sigma}\,dz.$$
<h3>5.1. Вычисление \(|k|^2\)</h3>
$$|k|^2 = \left|\frac{1-i}{\delta}\right|^2 = \frac{|1-i|^2}{\delta^2} = \frac{1^2+(-1)^2}{\delta^2} = \frac{2}{\delta^2} = \mu_0\sigma\omega.$$
<h3>5.2. Вычисление \(|\cosh(k(d-z))|^2\)</h3>
<p>Обозначим \(x = (d-z)/\delta\). Тогда \(k(d-z) = (1-i)(d-z)/\delta = x(1-i) = x - ix\). Используем</p>
$$\cosh(a+bi) = \cosh a\cos b + i\sinh a\sin b.$$
<p>Здесь \(a = x\), \(b = -x\):</p>
$$\cosh(x - ix) = \cosh x\cos x - i\sinh x\sin x.$$
<p>Квадрат модуля:</p>
$$|\cosh(k(d-z))|^2 = \cosh^2 x\cos^2 x + \sinh^2 x\sin^2 x.$$
<p>Используем \(\cosh^2 x = 1 + \sinh^2 x\) и \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\):</p>
$$= (1 + \sinh^2 x)(1 - \sin^2 x) + \sinh^2 x\sin^2 x$$
$$= 1 - \sin^2 x + \sinh^2 x - \sinh^2 x\sin^2 x + \sinh^2 x\sin^2 x$$
$$= 1 - \sin^2 x + \sinh^2 x = \cos^2 x + \sinh^2 x.$$
<div class="note">
$$|\cosh(k(d-z))|^2 = \cos^2\left(\frac{d-z}{\delta}\right) + \sinh^2\left(\frac{d-z}{\delta}\right).$$
</div>
<h3>5.3. Вычисление \(|\sinh(kd)|^2\)</h3>
<p>Аналогично, обозначим \(D = d/\delta\), так что \(kd = D(1-i) = D - iD\). Используем</p>
$$\sinh(a+bi) = \sinh a\cos b + i\cosh a\sin b.$$
$$\sinh(D - iD) = \sinh D\cos D - i\cosh D\sin D.$$
$$|\sinh(kd)|^2 = \sinh^2 D\cos^2 D + \cosh^2 D\sin^2 D.$$
<p>Используем \(\cosh^2 D = 1 + \sinh^2 D\) и \(\cos^2 D = 1 - \sin^2 D\):</p>
$$= \sinh^2 D(1 - \sin^2 D) + (1 + \sinh^2 D)\sin^2 D$$
$$= \sinh^2 D - \sinh^2 D\sin^2 D + \sin^2 D + \sinh^2 D\sin^2 D$$
$$= \sinh^2 D + \sin^2 D.$$
<div class="note">
$$|\sinh(kd)|^2 = \sinh^2 D + \sin^2 D,\qquad D = d/\delta.$$
</div>
<h3>5.4. Интегрирование по толщине стенки</h3>
<p>Возвращаемся к мощности:</p>
$$P = \frac{2|b_0|^2}{\mu_0^2\sigma\delta^2}\,\frac{1}{\sinh^2 D + \sin^2 D}\int_0^d\left[\cos^2\left(\frac{d-z}{\delta}\right) + \sinh^2\left(\frac{d-z}{\delta}\right)\right]dz.$$
<p>Замена \(\xi = d - z\), \(d\xi = -dz\), пределы от \(d\) до \(0\) меняются на \(0\) до \(d\):</p>
$$\int_0^d\left[\cos^2\left(\frac{\xi}{\delta}\right) + \sinh^2\left(\frac{\xi}{\delta}\right)\right]d\xi.$$
<p>Замена \(u = \xi/\delta\), \(d\xi = \delta\,du\), пределы от \(0\) до \(D\):</p>
$$= \delta\int_0^D\big[\cos^2 u + \sinh^2 u\big]\,du.$$
<p>Вычисляем интегралы по отдельности:</p>
$$\int_0^D \cos^2 u\,du = \left[\frac{u}{2} + \frac{\sin 2u}{4}\right]_0^D = \frac{D}{2} + \frac{\sin 2D}{4}.$$
$$\int_0^D \sinh^2 u\,du = \left[\frac{\sinh 2u}{4} - \frac{u}{2}\right]_0^D = \frac{\sinh 2D}{4} - \frac{D}{2}.$$
<p>Складываем:</p>
$$\int_0^D(\cos^2 u + \sinh^2 u)\,du = \frac{D}{2} + \frac{\sin 2D}{4} + \frac{\sinh 2D}{4} - \frac{D}{2} = \frac{\sin 2D + \sinh 2D}{4}.$$
<p class="small"><em>Обратите внимание: линейные по \(D\) члены сократились. Это важное следствие интерференции.</em></p>
<h3>5.5. Итоговое выражение для мощности</h3>
<p>Подставляем результат интегрирования:</p>
$$P = \frac{2|b_0|^2}{\mu_0^2\sigma\delta^2}\,\frac{1}{\sinh^2 D + \sin^2 D}\cdot\delta\,\frac{\sin 2D + \sinh 2D}{4}.$$
<p>Упрощаем:</p>
$$P(\omega) = \frac{|b_0|^2}{2\mu_0^2\sigma\delta}\,\frac{\sin 2D + \sinh 2D}{\sinh^2 D + \sin^2 D}.$$
<p>Вспоминая, что \(1/\delta = \sqrt{\mu_0\sigma\omega/2}\), получаем:</p>
<div class="note">
<b>Точная мощность диссипации в стенке конечной толщины:</b>
$$P(\omega) = \frac{|b_0|^2}{2\mu_0^2\sigma}\sqrt{\frac{\mu_0\sigma\omega}{2}}\;F(D),\qquad
F(D) = \frac{\sin 2D + \sinh 2D}{\sinh^2 D + \sin^2 D}.$$
<p>Здесь \(D = d/\delta = d\sqrt{\mu_0\sigma\omega/2}\) — безразмерная толщина стенки, выраженная в единицах скин-слоя.</p>
</div>
<h2>6. Анализ интерференционного фактора \(F(D)\)</h2>
<h3>6.1. Предельные случаи</h3>
<p><b>Тонкая стенка (\(D \to 0\)).</b> Используем разложения:</p>
$$\sin 2D \approx 2D - \frac{4D^3}{3},\quad \sinh 2D \approx 2D + \frac{4D^3}{3},\quad \sin^2 D \approx D^2 - \frac{D^4}{3},\quad \sinh^2 D \approx D^2 + \frac{D^4}{3}.$$
<p>Тогда числитель: \(4D + O(D^5)\), знаменатель: \(2D^2 + O(D^4)\). Следовательно:</p>
$$F(D) \approx \frac{4D}{2D^2} = \frac{2}{D}\quad \text{при } D\to 0.$$
<p>Подставляя в \(P(\omega)\), получаем \(P \propto \sqrt{\omega}/D \propto \sqrt{\omega}/\sqrt{\omega} = \text{const}\). Это согласуется с тем, что в тонкой стенке мощность должна выходить на насыщение (точное значение определяется другими граничными условиями, не \(B_y(d) = 0\)).</p>
<p><b>Толстая стенка (\(D \to \infty\)).</b> \(\sinh 2D \approx e^{2D}/2\), \(\sinh^2 D \approx e^{2D}/4\). Отсюда:</p>
$$F(D) \approx \frac{e^{2D}/2}{e^{2D}/4} = 2\quad \text{при } D\to\infty.$$
<p>Подставляя в \(P(\omega)\), получаем \(P \propto \sqrt{\omega}\) — совпадает с результатом для бесконечно толстой стенки. Множитель \(2\) возник из-за того, что учтено только поле внутри стенки; точная нормировка требует сшивки с вакуумным решением снаружи.</p>
<h3>6.2. Экстремумы \(F(D)\): полный вывод</h3>
<p>Запишем \(F = N/M\), где</p>
$$N = \sin 2D + \sinh 2D,\qquad M = \sinh^2 D + \sin^2 D.$$
<p>Производная:</p>
$$F' = \frac{N'M - NM'}{M^2}.$$
<p>Вычислим производные:</p>
$$N' = 2\cos 2D + 2\cosh 2D = 2(\cos 2D + \cosh 2D).$$
$$M' = 2\sinh D\cosh D + 2\sin D\cos D = \sinh 2D + \sin 2D = N.$$
<p>Заметим важное тождество: \(M' = N\). Это упрощает условие \(F' = 0\):</p>
$$N'M - N\cdot N = 0 \;\Longrightarrow\; N'M = N^2.$$
<p>Подставляем \(M = (\cosh 2D - \cos 2D)/2\) (проверяется напрямую):</p>
$$M = \sinh^2 D + \sin^2 D = \frac{\cosh 2D - 1}{2} + \frac{1 - \cos 2D}{2} = \frac{\cosh 2D - \cos 2D}{2}.$$
<p>Тогда условие \(N'M = N^2\) принимает вид:</p>
$$2(\cos 2D + \cosh 2D)\cdot\frac{\cosh 2D - \cos 2D}{2} = (\sin 2D + \sinh 2D)^2.$$
<p>Левая часть: \((\cosh 2D + \cos 2D)(\cosh 2D - \cos 2D) = \cosh^2 2D - \cos^2 2D\).<br>
Правая часть: \(\sin^2 2D + 2\sin 2D\sinh 2D + \sinh^2 2D\).</p>
<p>Приравниваем:</p>
$$\cosh^2 2D - \cos^2 2D = \sin^2 2D + 2\sin 2D\sinh 2D + \sinh^2 2D.$$
<p>Переносим:</p>
$$\cosh^2 2D - \sinh^2 2D = \cos^2 2D + \sin^2 2D + 2\sin 2D\sinh 2D.$$
<p>Используем \(\cosh^2 - \sinh^2 = 1\) и \(\cos^2 + \sin^2 = 1\):</p>
$$1 = 1 + 2\sin 2D\sinh 2D.$$
<p><b>Условие экстремума \(F(D)\):</b></p>
<div class="note">
$$\sin 2D\cdot\sinh 2D = 0.$$
<p>Поскольку \(\sinh 2D > 0\) при \(D > 0\), остаётся:</p>
$$\sin 2D = 0 \;\Rightarrow\; 2D = n\pi \;\Rightarrow\; D = \frac{n\pi}{2},\qquad n = 1,2,3,\dots$$
</div>
<h3>6.3. Значения \(F\) в точках экстремумов</h3>
<p>При \(D = n\pi/2\) имеем \(\sin 2D = 0\), \(\cos 2D = (-1)^n\). Тогда:</p>
$$N = \sinh(n\pi),\qquad M = \sinh^2\left(\frac{n\pi}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{n\pi}{2}\right).$$
<p><b>Случай \(n = 2m\):</b> \(\sin(n\pi/2) = 0\), \(M = \sinh^2(n\pi/2)\).</p>
$$F = \frac{\sinh(n\pi)}{\sinh^2(n\pi/2)} = \frac{2\sinh(n\pi/2)\cosh(n\pi/2)}{\sinh^2(n\pi/2)} = 2\coth\left(\frac{n\pi}{2}\right).$$
<p>Поскольку \(\coth > 1\), \(F > 2\). При \(n\to\infty\), \(\coth\to 1\), \(F\to 2\) сверху. Это локальные максимумы.</p>
<p><b>Случай \(n = 2m+1\):</b> \(\sin(n\pi/2) = \pm 1\), \(M = \sinh^2(n\pi/2) + 1 = \cosh^2(n\pi/2)\).</p>
$$F = \frac{\sinh(n\pi)}{\cosh^2(n\pi/2)} = \frac{2\sinh(n\pi/2)\cosh(n\pi/2)}{\cosh^2(n\pi/2)} = 2\tanh\left(\frac{n\pi}{2}\right).$$
<p>Поскольку \(\tanh < 1\), \(F < 2\). При \(n\to\infty\), \(\tanh\to 1\), \(F\to 2\) снизу. Это локальные минимумы.</p>
<p><b>Структура экстремумов \(F(D)\):</b></p>
<ul>
<li>\(D = \pi/2, 3\pi/2, 5\pi/2, \dots\) (нечётные \(n\)): локальные минимумы, \(F = 2\tanh(n\pi/2) < 2\).</li>
<li>\(D = \pi, 2\pi, 3\pi, \dots\) (чётные \(n\)): локальные максимумы, \(F = 2\coth(n\pi/2) > 2\).</li>
<li>Все экстремумы асимптотически приближаются к \(F = 2\) при \(n\to\infty\).</li>
</ul>
<h2>7. Полная арифметика первых трёх экстремумов</h2>
<h3>7.1. Первый экстремум: \(D_1 = \pi/2\) (минимум)</h3>
<h4>Аргумент</h4>
$$D_1 = \frac{\pi}{2} = 1.57079632679\ldots$$
<h4>Экспоненты</h4>
$$e^{\pi/2} = 4.8104773809\ldots,\qquad e^{-\pi/2} = 0.2078795764\ldots$$
<h4>Гиперболические функции</h4>
$$\sinh\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{4.8104773809 - 0.2078795764}{2} = \frac{4.6025978045}{2} = 2.3012989023.$$
$$\cosh\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{4.8104773809 + 0.2078795764}{2} = \frac{5.0183569573}{2} = 2.5091784786.$$
<h4>Числитель и знаменатель</h4>
$$N = \sinh(\pi) = 2\sinh\left(\frac{\pi}{2}\right)\cosh\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot 2.3012989023 \cdot 2.5091784786 = 11.5487393573.$$
$$M = \sinh^2\left(\frac{\pi}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right) = (2.3012989023)^2 + 1 = 5.2959763265 + 1 = 6.2959763265.$$
<h4>Значение \(F\)</h4>
$$F_1 = \frac{N}{M} = \frac{11.5487393573}{6.2959763265} = 1.834309\ldots$$
<h4>Проверка через \(F = 2\tanh(\pi/2)\)</h4>
$$\tanh\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{2.3012989023}{2.5091784786} = 0.9171523356.$$
$$F_1 = 2 \cdot 0.9171523356 = 1.8343046712.$$
<p class="small">Совпадение подтверждает корректность выкладок.</p>
<h4>Соответствующая частота</h4>
$$\omega_1 = \frac{2D_1^2}{\mu_0\sigma d^2} = \frac{2(\pi/2)^2}{\mu_0\sigma d^2} = \frac{\pi^2}{2\mu_0\sigma d^2} = \frac{4.9348022}{2\mu_0\sigma d^2} = \frac{2.4674011}{\mu_0\sigma d^2}.$$
<p>Вводя скин-время \(\tau_{\text{sk}} = \mu_0\sigma d^2\):</p>
$$\omega_1 = \frac{2.4674011}{\tau_{\text{sk}}}.$$
<h4>Значение мощности в первом экстремуме</h4>
$$P_1 = \frac{|b_0|^2}{2\mu_0^2\sigma}\sqrt{\frac{\mu_0\sigma\omega_1}{2}}\,F_1.$$
<p>Вычислим корень:</p>
$$\sqrt{\frac{\mu_0\sigma\omega_1}{2}} = \sqrt{\frac{\mu_0\sigma}{2}\cdot\frac{\pi^2}{2\mu_0\sigma d^2}} = \sqrt{\frac{\pi^2}{4d^2}} = \frac{\pi}{2d} = \frac{1.5707963}{d}.$$
<p>Тогда:</p>
$$P_1 = \frac{|b_0|^2}{2\mu_0^2\sigma}\cdot\frac{\pi}{2d}\cdot 1.8343047 = \frac{|b_0|^2\pi\cdot 1.8343047}{4\mu_0^2\sigma d} = \frac{5.7625530\,|b_0|^2}{4\mu_0^2\sigma d} = \frac{1.4406383\,|b_0|^2}{\mu_0^2\sigma d}.$$
<h3>7.2. Второй экстремум: \(D_2 = \pi\) (максимум)</h3>
<h4>Аргумент</h4>
$$D_2 = \pi = 3.14159265359\ldots$$
<h4>Экспоненты и гиперболические функции</h4>
$$e^{\pi} = 23.1406926328\ldots,\qquad e^{-\pi} = 0.0432139183\ldots$$
$$\sinh(\pi) = \frac{23.1406926328 - 0.0432139183}{2} = \frac{23.0974787145}{2} = 11.5487393573.$$
$$\cosh(\pi) = \frac{23.1406926328 + 0.0432139183}{2} = \frac{23.1839065511}{2} = 11.5919532755.$$
<h4>Числитель и знаменатель</h4>
$$N = \sinh(2\pi) = 2\sinh(\pi)\cosh(\pi) = 2 \cdot 11.5487393573 \cdot 11.5919532755 = 267.74676148.$$
$$M = \sinh^2(\pi) + \sin^2(\pi) = (11.5487393573)^2 + 0 = 133.37337553.$$
<h4>Значение \(F\)</h4>
$$F_2 = \frac{N}{M} = \frac{267.74676148}{133.37337553} = 2.0074986.$$
<h4>Проверка через \(F = 2\coth(\pi)\)</h4>
$$\coth(\pi) = \frac{11.5919532755}{11.5487393573} = 1.0037428.$$
$$F_2 = 2\cdot 1.0037428 = 2.0074856.$$
<h4>Соответствующая частота</h4>
$$\omega_2 = \frac{2D_2^2}{\mu_0\sigma d^2} = \frac{2\pi^2}{\mu_0\sigma d^2} = \frac{19.7392088}{\mu_0\sigma d^2} = \frac{19.7392088}{\tau_{\text{sk}}}.$$
<h4>Значение мощности</h4>
$$\sqrt{\frac{\mu_0\sigma\omega_2}{2}} = \frac{\pi}{d},$$
$$P_2 = \frac{|b_0|^2}{2\mu_0^2\sigma}\cdot\frac{\pi}{d}\cdot 2.0074856 = \frac{3.1531920\,|b_0|^2}{\mu_0^2\sigma d}.$$
<h3>7.3. Третий экстремум: \(D_3 = 3\pi/2\) (минимум)</h3>
<h4>Аргумент</h4>
$$D_3 = \frac{3\pi}{2} = 4.71238898038\ldots$$
<h4>Экспоненты и гиперболические функции</h4>
$$e^{3\pi/2} = 111.317778489\ldots,\qquad e^{-3\pi/2} = 0.008983291\ldots$$
$$\sinh\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \frac{111.317778489 - 0.008983291}{2} = \frac{111.308795198}{2} = 55.654397599.$$
$$\cosh\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \frac{111.317778489 + 0.008983291}{2} = \frac{111.326761780}{2} = 55.663380890.$$
<h4>Числитель и знаменатель</h4>
$$N = \sinh(3\pi) = 2\sinh\left(\frac{3\pi}{2}\right)\cosh\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 2 \cdot 55.654397599 \cdot 55.663380890 = 6195.7992.$$
$$M = \sinh^2\left(\frac{3\pi}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{3\pi}{2}\right) = (55.654397599)^2 + 1 = 3097.4063 + 1 = 3098.4063.$$
<h4>Значение \(F\)</h4>
$$F_3 = \frac{N}{M} = \frac{6195.7992}{3098.4063} = 1.9996860.$$
<h4>Проверка через \(F = 2\tanh(3\pi/2)\)</h4>
$$\tanh\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \frac{55.654397599}{55.663380890} = 0.9998386.$$
$$F_3 = 2\cdot 0.9998386 = 1.9996772.$$
<h4>Соответствующая частота</h4>
$$\omega_3 = \frac{2D_3^2}{\mu_0\sigma d^2} = \frac{2\cdot(3\pi/2)^2}{\mu_0\sigma d^2} = \frac{2\cdot 22.2066}{\mu_0\sigma d^2} = \frac{44.4132}{\mu_0\sigma d^2} = \frac{44.4132}{\tau_{\text{sk}}}.$$
<h4>Значение мощности</h4>
$$\sqrt{\frac{\mu_0\sigma\omega_3}{2}} = \frac{3\pi}{2d} = \frac{4.7123890}{d},$$
$$P_3 = \frac{|b_0|^2}{2\mu_0^2\sigma}\cdot\frac{3\pi}{2d}\cdot 1.9996772 = \frac{9.4247780\,|b_0|^2}{4\mu_0^2\sigma d}\cdot 1.9996772 = \frac{4.7123889\,|b_0|^2}{\mu_0^2\sigma d}.$$
<h2>8. Сводная таблица трёх экстремумов</h2>
<table>
<tr><th>№ \(n\)</th><th>\(D_n = n\pi/2\)</th><th>Тип</th><th>\(F_n\)</th><th>\(\omega_n \tau_{\text{sk}}\)</th><th>\(P_n\,\mu_0^2\sigma d/|b_0|^2\)</th></tr>
<tr><td>1</td><td>\(\pi/2 \approx 1.5708\)</td><td>минимум</td><td>\(2\tanh(\pi/2) \approx 1.8343\)</td><td>\(\pi^2/2 \approx 4.9348\)</td><td>1.4406</td></tr>
<tr><td>2</td><td>\(\pi \approx 3.1416\)</td><td>максимум</td><td>\(2\coth(\pi) \approx 2.0075\)</td><td>\(2\pi^2 \approx 19.7392\)</td><td>3.1532</td></tr>
<tr><td>3</td><td>\(3\pi/2 \approx 4.7124\)</td><td>минимум</td><td>\(2\tanh(3\pi/2) \approx 1.9997\)</td><td>\(9\pi^2/2 \approx 44.4132\)</td><td>4.7124</td></tr>
</table>
<p class="small">Здесь \(\tau_{\text{sk}} = \mu_0\sigma d^2\) — скин-время стенки.</p>
<h2>9. Физическая интерпретация интерференции</h2>
<h3>9.1. Откуда берётся интерференция</h3>
<p>В стенке конечной толщины поле представляет собой суперпозицию двух волн:</p>
<ul>
<li><b>Прямая волна</b> \(C_2 e^{-kz}\) — затухает вглубь стенки с декрементом \(1/\delta\).</li>
<li><b>Отражённая волна</b> \(C_1 e^{+kz}\) — возникает из-за граничного условия \(B_y(d) = 0\) на внешней поверхности.</li>
</ul>
<p>Отношение амплитуд отражённой и прямой волн на внутренней поверхности:</p>
$$\frac{|C_1|}{|C_2|} = e^{-2d/\delta} = e^{-2D}.$$
<p>При \(D \gg 1\) отражённая волна экспоненциально мала, и интерференция исчезает. При \(D \sim 1\) обе волны сравнимы по амплитуде, и их интерференция даёт осцилляции \(F(D)\) с периодом \(\Delta D = \pi\).</p>
<h3>9.2. Период осцилляций</h3>
<p>Из условия \(\sin 2D = 0\) следует \(2D = n\pi\), то есть период по \(D\) равен \(\pi\). Поскольку \(D \propto \sqrt{\omega}\), период по частоте:</p>
$$\Delta\omega = \frac{2[(D+\pi)^2 - D^2]}{\mu_0\sigma d^2} = \frac{2(2\pi D + \pi^2)}{\mu_0\sigma d^2}.$$
<p>При больших \(D\) период растёт как \(\sqrt{\omega}\).</p>
<h3>9.3. Затухание осцилляций</h3>
<p>Амплитуда осцилляций \(F\) убывает с ростом \(D\) как:</p>
$$\Delta F \approx \frac{4}{\sinh(n\pi)} \approx 8e^{-n\pi}\quad \text{при } n\to\infty.$$
<h2>10. Связь с полной моделью: эффективная диссипация</h2>
<p>В реальной задаче о стабилизации RWM амплитуда \(b_0\) сама зависит от частоты вращения \(\omega\): с ростом \(\omega\) мода стабилизируется, и \(b_0(\omega)\) убывает. Эффективная диссипация в энергетическом балансе пропорциональна:</p>
$$D_{\text{eff}}(\omega) \propto P(\omega) \cdot |b_0(\omega)|^2 \propto \sqrt{\omega}\,F(D(\omega))\,|b_0(\omega)|^2.$$
<p>Если аппроксимировать \(|b_0(\omega)|^2 \propto 1/(1 + (\omega/\omega_{\text{cr}})^2)\), то:</p>
$$D_{\text{eff}}(\omega) \propto \frac{\sqrt{\omega}\,F(D(\omega))}{1 + (\omega/\omega_{\text{cr}})^2}.$$
<p>Эта функция имеет три характерные особенности:</p>
<ol>
<li>Первый максимум при \(\omega \sim 1/\tau_{\text{sk}}\) — конкуренция роста \(\sqrt{\omega}\) и падения \(|b_0|^2\).</li>
<li>Минимум при \(\omega \sim \pi^2/(2\tau_{\text{sk}})\) — следствие интерференционного минимума \(F(D)\) при \(D = \pi/2\).</li>
<li>Второй максимум при \(\omega \sim 2\pi^2/\tau_{\text{sk}}\) — следствие интерференционного максимума \(F(D)\) при \(D = \pi\).</li>
</ol>
<p>В пределе \(d \to \infty\) (\(\tau_{\text{sk}} \to \infty\)) интерференционные осцилляции сдвигаются в область \(\omega \to \infty\), и остаётся только один главный максимум.</p>
<hr>
<h2>Часть II. Расширение: вакуумный зазор</h2>
<h2>11. Мотивация расширения</h2>
<p>В исходной постановке (Часть I) зазор между плазмой и стенкой отсутствует: \(z = 0\) — непосредственно граница плазмы и стенки, поле \(b_0\) задано на ней. В реальных установках между плазмой и стенкой, как правило, имеется вакуумный промежуток (см. цилиндрическую RWM-схему). Ниже он вводится как расширение, не изменяющее формализм Части I, но уточняющее связь \(b_0\) с плазменным возмущением.</p>
<h2>12. Постановка с зазором</h2>
<h3>12.1. Геометрия</h3>
<p>Вводится дополнительная область \(-g \le z \le 0\) (вакуумный зазор ширины \(g\)). Полная геометрия:</p>
$$\text{плазма }(z < -g)\ \big|\ \text{вакуум }(-g \le z \le 0)\ \big|\ \text{стенка }(0 \le z \le d)\ \big|\ \text{вакуум }(z > d).$$
<h3>12.2. Уравнение в вакуумном зазоре</h3>
<p>Поле в вакуумном зазоре удовлетворяет уравнению Лапласа:</p>
$$\frac{d^2 B_y^{\text{vac}}}{dz^2} = 0 \;\Longrightarrow\; B_y^{\text{vac}}(z) = A + Bz,\qquad -g \le z \le 0.$$
<h3>12.3. Граничные условия с зазором</h3>
<p>Сшивка на границе плазма–вакуум:</p>
$$B_y^{\text{vac}}(-g) = b_0^{\text{pl}},$$
<p>где \(b_0^{\text{pl}}\) — поле на границе плазмы. Сшивка на границе вакуум–стенка:</p>
$$B_y^{\text{vac}}(0) = B_y^{\text{wall}}(0) = b_0.$$
<p>Условие на внешней границе стенки сохраняется:</p>
$$B_y^{\text{wall}}(d) \approx 0.$$
<h3>12.4. Связь \(b_0\) и \(b_0^{\text{pl}}\)</h3>
<p>Из линейности \(B_y^{\text{vac}}\) следует</p>
$$b_0 = b_0^{\text{pl}} - g\,B'(0^-).$$
<p>С учётом условия непротекания на идеально проводящей стенке в одномерном приближении поле в зазоре однородно:</p>
$$B_y^{\text{vac}}(z) = b_0^{\text{pl}},\qquad b_0 = b_0^{\text{pl}}.$$
<p>В этом приближении зазор <b>не изменяет</b> \(b_0\) и, следовательно, не изменяет \(P(\omega)\) и \(F(D)\). Эффект зазора проявляется в полной (не одномерной) геометрии через коэффициент передачи \(\Lambda(g, \omega)\).</p>
<h3>12.5. Коэффициент передачи (общий случай)</h3>
<p>В полной модели вводится коэффициент</p>
$$b_0(\omega) = \Lambda(g, \omega)\,b_0^{\text{pl}}(\omega).$$
<p>Тогда мощность диссипации в стенке:</p>
$$P_{\text{eff}}(\omega) = \frac{|b_0^{\text{pl}}|^2}{2\mu_0^2\sigma}\sqrt{\frac{\mu_0\sigma\omega}{2}}\,\big|\Lambda(g, \omega)\big|^2\,F(D(\omega)).$$
<p>Положение экстремумов \(D_n = n\pi/2\) <b>не изменяется</b>, поскольку определяется только \(F(D)\). Изменяются амплитуда и наблюдаемость особенностей за счёт множителя \(|\Lambda|^2\).</p>
<h3>12.6. Сводная таблица расширения</h3>
<table>
<tr><th>Величина</th><th>Без зазора (Часть I)</th><th>С зазором (Часть II)</th></tr>
<tr><td>Область стенки</td><td>\(0 \le z \le d\)</td><td>\(0 \le z \le d\)</td></tr>
<tr><td>Область вакуума слева</td><td>отсутствует</td><td>\(-g \le z \le 0\)</td></tr>
<tr><td>Поле на \(z = 0\)</td><td>\(B_y(0) = b_0\)</td><td>\(B_y(0) = b_0 = \Lambda(g, \omega)\,b_0^{\text{pl}}\)</td></tr>
<tr><td>Решение в стенке</td><td>\(B_y(z) = b_0\sinh(k(d-z))/\sinh(kd)\)</td><td>то же, с заменой \(b_0 \to \Lambda b_0^{\text{pl}}\)</td></tr>
<tr><td>\(j_z(z)\)</td><td>\(\frac{kb_0}{\mu_0}\frac{\cosh(k(d-z))}{\sinh(kd)}\)</td><td>то же с \(b_0 \to \Lambda b_0^{\text{pl}}\)</td></tr>
<tr><td>\(P(\omega)\)</td><td>\(\propto |b_0|^2 F(D)\)</td><td>\(\propto |b_0^{\text{pl}}|^2 |\Lambda|^2 F(D)\)</td></tr>
<tr><td>\(F(D)\)</td><td>\(\frac{\sin 2D+\sinh 2D}{\sinh^2 D+\sin^2 D}\)</td><td><b>не изменяется</b></td></tr>
<tr><td>Экстремумы</td><td>\(D_n = n\pi/2\)</td><td><b>не изменяются</b></td></tr>
</table>
<h3>12.7. Дополнения</h3>
<div class="add">
<b>1.</b> В одномерном приближении идеально проводящей стенки и однородного поля в зазоре \(\Lambda = 1\), и расширение сводится к исходной модели.
</div>
<div class="add">
<b>2.</b> В полной цилиндрической геометрии \(\Lambda(g, \omega)\) определяется решением задачи в плазме и вакуумном зазоре и зависит от радиальных профилей и граничных условий на плазме.
</div>
<div class="add">
<b>3.</b> Расширение не изменяет основной результат Части I: положение и число экстремумов \(P(\omega)\) определяются \(F(D)\) и не зависят от зазора.
</div>
<div class="add">
<b>4.</b> В пределе \(g \to 0\) (зазор исчезает) \(\Lambda \to 1\), и модель переходит в исходную постановку.
</div>
<hr>
<h2>13. Выводы</h2>
<ol>
<li>В стенке конечной толщины поле описывается гиперболическим решением \(B_y(z) = b_0\sinh(k(d-z))/\sinh(kd)\).</li>
<li>Плотность тока \(j_z(z) = (kb_0/\mu_0)\cosh(k(d-z))/\sinh(kd)\).</li>
<li>Мощность диссипации \(P(\omega) \propto \sqrt{\omega}\,F(D)\), где \(F(D)\) — интерференционный фактор.</li>
<li>\(F(D)\) имеет бесконечную последовательность экстремумов при \(D = n\pi/2\): нечётные \(n\) — минимумы, чётные — максимумы. Все асимптотически стремятся к 2.</li>
<li>Первые три экстремума: минимум при \(D = \pi/2\) (\(F_1 = 1.8343\)), максимум при \(D = \pi\) (\(F_2 = 2.0075\)), минимум при \(D = 3\pi/2\) (\(F_3 = 1.9997\)).</li>
<li>Соответствующие частоты: \(\omega_1\tau_{\text{sk}} = \pi^2/2 \approx 4.93\), \(\omega_2\tau_{\text{sk}} = 2\pi^2 \approx 19.74\), \(\omega_3\tau_{\text{sk}} = 9\pi^2/2 \approx 44.41\).</li>
<li>В полной модели с учётом падения амплитуды \(b_0(\omega)\) эти три особенности дают три экстремума эффективной диссипации.</li>
<li>Вакуумный зазор не изменяет \(F(D)\) и положение экстремумов \(D_n\); в одномерном приближении \(\Lambda = 1\), в полной геометрии — входит через коэффициент передачи \(\Lambda(g, \omega)\).</li>
</ol>
</body>
</html>