---

5. Процессы гибели и размножения
В теории массового обслуживания широко распространен специальный класс случайных процессов – так называемые процессы гибели и размножения. Название это связано с рядом биологических задач, где этот процесс служит математической моделью изменения численности биологических популяций.

Граф состояний процесса гибели и размножения имеет вид показанный на рисунке 3.




Рис. 3.
Рассмотрим упорядоченное множество состояний системы  .Переходы могут осуществляться из любого состояния только в состояния с соседними номерами, т.е. из состояния Sk возможны переходы либо в состояние Sk-1 , либо в состояние S k+1.

Предположим ,что все потоки событий ,переводящие систему по стрелкам графа, простейшие с соответствующими интенсивностями  или 

По графу, представленному на рис.3, составим и решим алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний (их существование вытекает из возможности перехода из каждого состояния в каждое другое и конечности числа состояний).

В соответствии с ранее сформулированным правилом составления таких уравнений получим:

для состояния 

 (4)

для состояния -



с учетом (4) приводится к виду 

Аналогично, записывая уравнения для предельных вероятностей других состояний, можно получить следующую систему уравнений:

 (5)

к которой добавляется нормировочное условие

 . (6)

Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения (5) выразим p

через p :  . (7)

Из второго, с учетом (7), получим:

 (8)

Из третьего, с учетом (8), получим:



И вообще, для любого k (от 1 до n), имеем:



Обратим внимание на формулы для вероятностей  : числители представляют собой произведения всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо ( от начала и до данного состояния Sk ); знаменатели – произведения всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево ( из состояния Sk и до начала ).

Таким образом ,все вероятности состояния  выражены через одну из них (p0). Подставим эти выражения в нормировочное условие (6). Получим: 

откуда можно получить выражение для p0:

 (9)

Заметим, что слагаемые в правой части (9) представляют собой не что иное, как последовательные коэффициенты при p0 в формулах для вероятностей  .

6. Простейшие системы массового обслуживания
и их характеристики.

6.1 . Показатели эффективности смо.
Предметом теории массового обслуживания является построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО с показателями эффективности, описывающими её способность справиться с потоком заявок.

Показатели эффективности делятся на показатели:

Характеризующие качество и условия работы обслуживающей системы;

Отражающие экономические особенности системы.

Показатели первой группы формируют на основе полученных из расчетов значений вероятностей состояний системы.

Показатели второй группы рассчитывают на основе показателей первой группы.

Среди показателей первой группы можно выделить следующее:

Вероятность того, что поступающее в систему требование откажется присоединиться к очереди и теряется;

Среднее количество требований, ожидающих начало обслуживания (Lоч);

Относительная (q) и абсолютная (А) пропускные способности системы:

q = 1- Pотк, A = λ . q;

Среднее число занятых обслуживанием каналов;

Общее среднее количество требований, находящихся в системе (Lсист);

Среднее время ожидания требования начала обслуживания (Tоч);

Среднее время пребывания требования в системе (Tсист ).

Все показатели СМО на практике рассчитываются по формулам, полученным в предположении, что входящий поток требований простейший (пуассоновский), с интенсивностью λ, а интервал времени между двумя следующими одно за другим требованиями в простейшем потоке распределены по показательному закону с параметром λ.

Эти обстоятельства позволяют приписывать происходящему в СМО процессу основное свойство Марковских случайных процессов, а именно для любого момента времени вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Для любой СМО, при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивнисть потока требований:

 (10) и  . (11)

Формулы (10) и (11) называются формулами Латтла.

Показатели, характеризующие экономические особенности, формируют в соответствии с конкретным видом системы. Одним из общих экономоческих показателей является экономическая эффективность

E = Pобсл λ С Т-Gn ,

где Pобсл – вероятность обслуживания, C – средний экономический эффект, полученный при обслуживании одного требования, Т – рассматриваемый интеграл времени, Gn – величина потерь в системе.

6.2 Система массового обслуживания с отказами
Показателями эффективности СМО с отказами являются:

А - абсолютная пропускная способность системы, т. е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

q - относительная пропускная способность системы, т. е. средняя доля пришедших заявок, обслуживаемых системой;

Pотк - вероятность отказа, т. е. того, что заявка покинет систему не обслуженной;

r – среднее число занятых каналов ( для многоканальной системы).

Это показатели находятся по формулам, приведенным в табл. 6.1, где

λ – интенсивность входящего потока требований;

μ – интенсивность потока обслуживания;

t обс - среднее время обслуживания требования и 

 - интенсивность нагрузки канала; r – число каналов.

Табл. 6.1.

Вид системы

Показатель

Одноканальная

Многоканальная

q = 





P





А









 − вероятность простоя.

Замечание.  (4.1.)

и    (4.2.)

Формулы (6.1.) и (6.2.) называются формулами Эрланга.

Задача 6.1.

В вычислительный центр, с тремя ЭВМ, поступают заказы на вычислительные работы. Если работают все три машины, то вновь поступающий заказ не принимается. Пусть среднее время работы с одним заказом составляет 3 часа. Интенсивность потока заявок 0,25 (1/ч). Найти вероятность отказа и среднее число занятых ЭВМ.

Решение:

Имеем: r=3; λ=0.25 (1/ч), Тобс=3(ч).

Находим:    ,

 

Итак, Pотк=0,033,  .

6.3 Система массового обслуживания с ожиданием (очередью)
Показателями эффективности СМО с неограниченной очередью являются:

А – абсолютная пропускная способность;

q – относительная пропускная способность;

Pотк – вероятность отказа;

 среднее число занятых каналов;

Lсист – среднее число заявок в системе;

Тсист – среднее время пребывания заявки в системе;

Lоб – среднее число заявок, находящихся под обслуживанием;

Lоч – среднее число заявок в очереди (длина очереди);

Точ – среднее время пребывания заявки в очереди;

Pзан – вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).

Необходимые для расчетов формулы представлены в таблице 6.2.

Таблица 6.2

Виды системы

Показатель

Одноканальная

с неограниченной очередью

Многоканальная

с неограниченной

очередью

Lсист





Lоч





Lоб



Тсист





Точ









Pзан





Замечание. Для многоканальной СМО

  … ,  … ,

 ,  , … ,  , … .

где Pr+1 – вероятность того, что все каналы заняты, l – заявок стоит в очереди.

Показатели эффективности СМО с ограниченной очередью находятся по формулам, представленным в таблице 6.3, где m – число заявок в очереди (длина очереди).

Таблица 6.3.

Виды

системы

Показатель

Одноканальная СМО

с ограниченной

очередью

Многоканальная СМО

с ограниченной очередью

Предельные вероятности

Вероятность простоя



P1=ρP0, P2=ρ2P0…,

Pk=ρkP0



  …

 …

(n=1, …m)

Верояность отказа

pотк.=Pm+1=ρm+1p0



Абсолютная пропускная спосоность

A=λq=λ(1-ρm+1p0)



Отностельная пропускная способность

q=1-Pотк.=1-ρm+1p0



Среднее число заявок в очереди





Среднее число заявок под обслуживанием (среднее число занятых каналов)

Lоб.=1-p0



Среднее число заявок в системе

Lсист.= Lоч.+ Lоб.



Задача 6.2. В порту имеется один причал для разгрузки судов. Интенсивность потока судов равна 0,4 (судов в сутки). Среднее время разгрузки одного судна составляет 2 су­ток. Предполагается, что очередь может быть неограниченной длины. Найти показатели эффективности работы причала, а также вероятность того, что ожидают разгрузки не более чем два судна.

Решение. Имеем ρ=λ/μ=λ = 0,4·2 = 0,8. Так как ρ = 0,8 < 1, то очередь на разгрузку не может бесконечно возрастать и предельные вероятности существуют. Найдем их.

Вероятность того, что причал свободен, р0 = 1 - 0,8 = 0,2 ,

а вероятность того, что он занят, Pзан. = 1 - 0,2 = 0,8.

Вероятности того, что у причала находятся 1,2,3 судна (т.е. ожидают разгрузки 0,1,2 судна), равны

р1 = 0,8 (1-0,8) = 0,16; р2 = 0,82 (1-0,8) = 0,128; р3 = 0,83 (1-0,8) = 0,1024.

Вероятность того, что ожидают разгрузку не более чем 2 судна, равна

Р = р1 + р2 + р3 = 0,16 + 0,128 + 0,01024 = 0,3904.

Среднее число судов, ожидающих разгрузки

Lоч. = 0,82/(1-0,8) = 3,2,

а среднее время ожидания разгрузки

Точ. = 3,2/0,8 = 4 (сутки).

Среднее число судов, находящихся у причала,

Lсист. = 0,8/(1-0,8) = 4 (судов) или

Lсист. = 3,2 + 0,8 = 4 (судов),

а среднее время пребывания судна у причала по формуле

Тсист. = 4/0,8 = 5 (сутки).

Очевидно, что эффективность разгрузки судов невысокая. Для её повышения необходимо уменьшение среднего времени разгрузки судна либо увеличение числа при­чалов r.

Задача 6.3. По условию задачи 6.2. найти показатели эффективности работы причала. Известно, что приходящее судно покидает причал (без разгрузки), если в очереди на разгрузку стоит более 3 судов.

Решение. По условию m = 3. Используем формулы, приведенные во второй графе табл. 6.2

Вероятность того, что причал свободен

 .

Вероятность того, что приходящее судно покинет причал без разгрузки:

Ротк.=0,83+10,297=0,122.

Относительная пропускная способность причала:

q=1-0,122=0,878.

Абсолютная пропускная способность примяла А = 0,4·ּ0,0878 = 0,351, т.е. в среднем в сутки разгружается 0,35 судна.

Среднее число судов, ожидающих разгрузку

 ,

а среднее время ожидания разгрузки

 .

Среднее число судов, находящихся у причала

Lсист.=0,861 + (1-0,297) = 1,564

а среднее время пребывания судна у причала по (6.2):

 .
6.4 Замкнутые смо
В замкнутых системах массового обслуживания поступление потока требований за­висит от самой системы. Элемент системы после выполнения своего требования не по­кидает систему, а возвращается назад и в любой момент может опять послать очередную заявку, то есть требования движутся по циклу, а источники заявок являются не внеш­ними, а внутренними. Замкнутые СМО типичны для таких производственных ситуаций, когда рассматриваются организационные формы обслуживания технологического обо­рудования. Источником требований обычно выступают машины (потоки, станки, вы­пуски), число которых ограничено и равно m. Обслуживание этих машин осуществля­ется r (r > 1) рабочими, причем каждый рабочий обслуживает одновременно только одну машину.

Показателями эффективности системы служат:

Средняя длина очереди (среднее число требований, ожидающих обслуживания)

 (1)

где n - число машин, стоящих в очереди на обслуживание или уже обслуживаемых (число простаивающих машин), Рn - вероятность нахождения n постаивающих станков, причем

 , (2)  и

 .

Для практических расчетов удобно пользоваться формулами

Рn = anP0, n = 1, 2, …m (3)

где 

 .

2) Среднее число незагруженных каналов обслуживания

 . (4)

3) Среднее число требований, находящихся в обслуживании

 (5)

4) Среднее число требований в системе Lсист. = Lоч. + Lоб.. (6)

5) Коэффициент простоя оборудования из-за ожидания обслуживания

 . (7)

и процент простоя из-за совпадения операций Пс = kс·100 . (8)

6) Коэффициент простоя рабочего, обслуживающего систему  (9)

и соответственно коэффициент загруженности рабочего  . (10)

7) Среднее время ожидания машиной обслуживания

 . (11)

8) Среднее время совпадения операций Тс = dТоч. . (12)

где d - число требований (остановок), приведенное к единице продукции.

Задача 6.4. Рабочий обслуживает группу из трех станков. Каждый станок останавли­вается в среднем два раза в час. Процесс наладки занимает в среднем 10 мин. Опреде­лить абсолютную пропускную способность наладки рабочих станков.

Решение. Имеем: r = 1, m = 3, λ = 2, Тобс. = 1/6, μ = 6.

Находим:  ,

 .

Находим вероятность того, что рабочий будет занят обслуживанием Рз = 1-Р0 = 0,654.

Если рабочий занят обслуживанием, то он обслуживает 6 станков в час, поэтому А = µ·Р0 = 6·0,654 = 4, т.е. пропускная способность наладки рабочим станков равна 4 (станка в час).

Задача 6.5. Ткач обслуживает пять ткацких автоматических станков. Производитель­ность одного станка П = 3 м/ч, число самоостановок станка по данным наблюдений d = 2 на 1 м ткани; средняя продолжительность устранения причины остановки  = 30 сек. Время обслуживания распределено по показательному закону. Требуется найти харак­теристики работы системы.

Решение. Имеем: r = 1, m = 5,  требований в минуту;   требования в минуту. Следовательно, коэффициент обслуживания (интенсивность загрузки канала)  Вычислим вероятность Рn станков, для чего воспользуемся формулами

a0 = 1,



а2 = (5 – 2 + 1) · 1,25 = 1,25

а3 = (5 – 3 + 1) · 0,25 · 1,25 = 0,938,

а4 = (5 – 4 + 1) · 0,25 · 0,938 = 0,469,

а5 = (5 – 5 + 1) · 0,25 · 0,469 = 0,117,



Находим Р0 = (1 + 4,024)-1 = 0,199; Р1 = а1Р0 = 0,249; Р2 = а2Р0 = 0,249;

Р3 = а3Р0 = 0,187; Р4 = а4Р0 = 0,093; Р5 = а5Р0 = 0,023.

Проверим условие  - оно выполняется.

Рассчитаем остальные характеристики системы:

Lоч. = (2 - 1) · 0,249 + (3 - 1) · 0,187 + (4 - 1) · 0,093 + (5 - 1) · 0,024 = 0,994

доля свободного времени ткача (среднее число незагруженных каналов)

r0 = (1-0) · 0,199 + (1-1) · 0,0249 = 0,199

среднее число требований в обслуживании Lоч. = 1 – 0,0199 = 0,0801;

среднее число требований в системе Lсист. = 0,0994 = 0,801 = 1,795;

коэффициент простоя станков из-за ожидания обслуживания

kc = 0,0994/5 = 0,199 19.9% = П

коэффициент простоя рабочего, обслуживающего систему

kr = 0,199/1 = 0,0199;

коэффициент загруженности рабочего kз = 1-0,199 = 0,801 или 80,1%;

среднее время ожидания обслуживания 

среднее время совпадения операций Тс = 2·0,62 = 1,24 мин. на I м ткани.

Анализ найденных характеристик показывает высокую загруженность системы при средней очереди 0,994 станки, величина простом станков из-за ожидания 19,9% и загру­женность рабочего 80,1 %.