https://pastein.ru/t/Rr
скопируйте уникальную ссылку для отправки
89. AXIOMATIZED CLASSES 121 38. R 3-ке тең (R; +, -) - 3-алаң (8; +,) - күрделі сандар өрісі болсын. R-дің қарапайым кеңейтімі ме? 1-ден жоғары кез-келген ультрафильтр үшін канондық карта φ: - - M '/ D φ (b)% 3D fI D шартымен анықталған, мұндағы /) барлық iE1 үшін 3D b b, элементтің енуі екенін дәлелдеу Т-тен / Д. Егер Λ ақырлы жүйе болса, онда I I-дің n / D-ге изоморфизм болатындығын дәлелдеңіз. 40. П, 3 (м,; S) (n N N) болсын; M. құрамында 2n + 1 элемент бар. (a) егер D негізгі емес ультрафильтр болса, бүтін сандар жиынтығының (Z; <) изоморфизмін құрыңыз. - сызықты реттелген жиынтықтар iEN (b) Бұл изоморфизм қарапайым картаға айнала ма? 41. FD (18) L% 3D (M; о) және n '3D (M'%; aUм) жүйесінің FD (M) моделінің толық диаграммасы болсын. Π элементінің (m '; o) ішіне кірістірілетінін дәлелдеңіз. 42. Кез келген шексіз M% 3D (M; B о) жүйесі үшін және кез-келген кардинал сан m жүйенің элементар кеңейтімі бар және сыйымдылығы 43-тен асады. M% 3D (M; о) M% 3D жүйесінің ішкі жүйесі болсын. (M '; s). М А-ның элементар ішкі жүйесі болуы үшін кез келген A формуласы үшін (x, ..., x, y) t EM-нен жеткілікті болатынын дәлелдеңіз және кез-келген m, y) мынандай m a болатындығы l A (m, m, m) болатындығына байланысты. 44. Ақырлы немесе есептелетін қолтаңбаның әр шексіз жүйесі o санайтын қолтаңбаның қарапайым кеңейтімі болатындығын дәлелдеңіз. 45. PL 3D (M; B a) XCM және m шексіз жүйе болсын (0, X, NosmsM). M3 қуаттың u3 (M '; o) элементар ішкі жүйесі бар екенін дәлелдеңіз. 46. М 3D 3D (M; 0) шексіз жүйе және m2max {M, g} болсын. Яда кардинализмнің 47 ° элементарлы кеңеюі бар екеніне көз жеткізіңіз. ,,, ,,, n. ..- көптеген жүйелер, мысалы, 7+] M-тің элементарлық кеңейтімі, кез келгені үшін UM әрқайсысының элементарлық кеңейтімі болатындығын дәлелдеңіз.
C.P. Математикалық лого 22 48 °. К класы аксиоматикаланатындығын дәлелдеңіз, егер К абстрактілі болса, ультра препараттарға қатысты жабық болса және элементар ішкі жүйелерді алуға қатысты жабылса, 49 °. Қолтаңба жүйелерінің класы әмбебап аксиоматизирленетіндігін дәлелдеңіз, егер кез-келген N жүйесі үшін қолтаңба ο А-ның әрбір ақырлы субмоделінің әрбір шекті тозуы кейбір К-жүйесінде изоморфты түрде енетін болса, Элемент К. 50-ге тиесілі. Тоғра класы ультра өнімге, абстрактілі және тұқым қуалаушылыққа қатысты жабық болған кезде әмбебап аксиоматизирленген жағдайда ғана болады (ішкі жүйелерге қатысты жабық). 51. К класы аксиоматикаландырылсын, ал СК жүйелері К-жүйелерінің ішкі жүйелеріне изоморфты болсын. СК класының әмбебап аксиоматизацияға болатындығын дәлелдеңіз. 52 *. М және А элементтері эквивалентті болуы үшін D-дан асатын ультрафильтр бар болуы қажет және жеткілікті, ол үшін T-ге элементарлық салыстыру бар: D. 53. Егер R және, элементар эквивалентті және конечтің ақырлы болатындығын дәлелдеңіз, онда Л - ақырлы және изоморфты болады. 54. Т дәйекті теориясы толық болуы үшін оның барлық модельдері элементар болуы қажет және жеткілікті екенін дәлелдеңіз. ыдысқа балама. 55. Категориялық теория модельдерінің класы (изоморфизмге дейін) бір ақырлы жүйеден тұратындығын көрсетіңіз. (Егер оның барлық модельдері изоморфты болса, теория категориялық деп аталады.) 56. T-тің шексіз кардинализмде m-категориялық болатын шексіз модельдерсіз элементарлық теория болсын. T -дің толық теория екенін дәлелдеңіз. (Теорияны m-категориялық деп атайды, егер оның барлық кардинализм модельдері изоморфты болса). 57. Тығыз реттелген жиындар теориясының кішігірім және ең үлкен элементтерінсіз (1-бөлімнің 5-бабының 13-мәселесін қараңыз) дәлелдеңіз. 58. signature, Γο2Γ, Γ2Γ қолтаңба сөйлемдерінің толық жиынтығы болсын, consistent -дан барлық объектінің тұрақтылығы және functional-ден барлық функционалды және предикаттық белгілер o болатын екі сөйлемдердің жиынтығы. G.t.o жиынтығы сәйкес келетіндігін дәлелдеңіз.
89. AXIOMATIZED CLASSES 123 59. Γ қолтаңбасы бар сөйлемдердің толық жиынтығы болсын, А тақырыбы тұрақты, сөйлем барлық A T (A) сәйкес келеді. Егер m system жүйесінде able мүмкін болса, енгізіңіз (M; c), онда (A) UFD () сәйкес келеді. 60. M% 3 (M; o) А, 3 (M; a,), M, - (M, o) жүйенің төмендеуі Л.-тің элементарлық кеңеюінің A, - ( М ;; о,) жүйенің және (M3; о) - 2. 2 1 3 61 ° элементарлы кеңейту. Қолтаңба туралы сөйлемдердің толық жиынтығы болсын o, қол қою үкімі o 20, B a, 20 және P, қол қою үкімі, o құрамына кіретін В тұрақтылары. Егер GU {A} және ГУ {B} бір-біріне сәйкес келетін болса, TU (A, B} сәйкес келеді. o220 және 3 қол қою туралы сөйлем. Егер GO {A} және GU {b} сәйкес болса, онда o, 20, B 1 o.o. GO {A, B} сөйлемдері бір-біріне сәйкес келеді 63 °. c, B қол қою үкімі - Un, a - A және B әріптеріндегі cig- (AEV) үкімі. n (CMEA) IP (интерполяция теориясы) SP үшін EMA). H- және
81. ЖЕКЕ РЕКУРСИВТІК ФУНКЦИЯЛАР «x, ..., x) (n% 3D 1, 2, ...) ішінара сандық функцияларды, яғни» MSM белгілі бір жиынында анықталған функцияларды «табиғи мәндермен зерттейміз. Кез келген ap, a, EM және / және g функциялары үшін f (a, -8 (a, .... a) деп жазамыз, егер / (aa, ..., a,) мәндері анықталмаса 8 және f / (x ,, .. x, p-функциясы барлық жерде анықталады деп аталады, егер q Nh Төмендегі барлық анықталған функциялар қарапайым деп аталады: s (x)% 3D x + 1, o '(x) ) 0, ,, ..., x,)% 3 x (1 smsn үшін). = A «(xx 3» (T (*, .... *) .. E9) оператордың көмегімен алынады дейміз) g «,» ..., f «функцияларының суперпозициясы. m функциясы алмастыру операторын қолданып g, J ... функцияларынан алынғанын айтамыз, егер x, айнымалылардың бірі x болса ,, ..., x, немесе 1, e x, ..., x, айнымалыларының бірі. , y, 2) операторды 8 «(x x және n) деңгейінде қолданыңыз
S1. Қарапайым рекурсияның жекелеген рекурсивті функциялары, егер оны қарапайым рекурсия схемасы бойынша анықтауға болатын болса: (x, ..., x 0)% 3D 2 «(xp, x,» (x, ..., x ,,) + 1)% 3D A + 2 (x, * Y)). N 3D 0 үшін қарапайым рекурсия схемасы келесі формада болады: (x, ..., y, fn + 1 / (0)% 3D a, Vo + 1)% 3Dg (./ 0), мұндағы a - тұрақты унарлы функция а санына тең. / ((X, ..., x,) функциясы минимизация операторын (u-операторды) пайдаланып ^ + 1 (x, ..., x, y) функциясынан алынған деп айтамыз. ) шартын қанағаттандырған жағдайда «(x, .x) 3 mus», n + 1 (x, ..., x, y)% 3 01 белгілеңіз: f «(x ,, ..., x,) егер g (x, ..., x ,, ..... (x 0), .. 1) ..., x, y - арқылы анықталса және тең емес болса, y-ге тең болады. 0, ag (x ,, ..., x, y) 3 0. f (x, ...) функциясы, егер оны суперпозиция операторлары мен қарабайыр рекурсиялардың шектеулі санын қолдана отырып, қарапайым функциялардан алуға болады. f (x ,, ..., x,) ішінара рекурсивті (cfr) деп аталады, егер мүмкін болса Ол қарапайым функциялардан суперпозиция операторларының шектеулі қосымшалары арқылы алынады, қарабайыр деп примитивтік рекурсивті (прф), ркурсия және минимизация деп аталады.F (x, x,) функциясы егер ол жартылай рекурсивті және барлық жерде анықталса, жалпы рекурсивті (orff) деп аталады. / «(x ,, ..., x,) g ax (x ,, ..., x, y) және h» (x ,, ..., x) функцияларынан алынған - mu [g + 1 x, және h (x,) артық емес, егер барлық (p, x, ..., x, y)% 3 01 x) p үшін анықталады. ny және e3 «(u - mu (e + 1 (xp ...., x ,, y))% 3D 01.
Алгоритмдік теория 126. Біз / «* 1 функциясын R **** 1 ,, .., егер оны схема бойынша беруге болатын болса, 0)% 3D in» (x, ..) рекурсивті рекурсия арқылы аламыз деп айтамыз. ..x. m * (x, ..., x, y + 1)% 3D A ** s * ..., x ,, n + 1 x y, / (x ,, .... x, ,, (y + 1)), ... .... f (, ..., x, t, (y + 1))), қайда, (y + 1) <y, ... , 1, (y + 1) $ y. Біз «(x, ..., x,)% 3 электронды белгілерін қолданамыз (x, .. x, y) -h (x, .., x, y). Шарт болса: f» (x ,, ., x) y-ге тең, содан кейін h (x болған кезде (x, .., Xp,) және тек содан кейін, ...., x ,, 1) i% 3D 0, 1, ... үшін анықталады. , y, бірақ g (x, x,) + h (x, x,) икю үшін және 8 (xp .... x, y) 3 h (x, ... x, y). Сол сияқты келесі белгі қолданылады: myls (x, .... x, y) * h (x, .x, y) 1. мулс (x, .., xy) h (x ..., xy) I. mylv (x, ... *, y) <h (x..x Y), т.с.с. 1 f (x) функциясын итерация көмегімен g (x) функциясынан аламыз дейміз және f (белгілейміз). x)% 3D 3D (x), егер f (0) 0, / x + 1)% 3D 8 (x)). Біз f (x) функциясын g (x) функциясынан инверсия арқылы аламыз және f (x)% 3D uy! G (y)% 3D x] болса, f (x)% 3g «(x) деп белгілейміз. G функциясы F ^ + 1 болсын - n-локальды функцияның отбасы. G үшін әмбебап функция деп атаймыз, егер G% 3D болса (F (0, x ,, ..., x,), F (1, x,). 1. Кез-келген қарабайыр рекурсивті функцияның барлық жерде анықталатындығын дәлелдеңіз 2. Егер ((,,,,,,,,) функциясы қарабайыр рекурсивті болса, онда келесі функциялар қарабайыр рекурсивті болатындығын дәлелдеңіз:
S1. ЖИНАҚТАУ ФУНКЦИЯЛАРЫ 127 (a), (x, * 2 .., x)% 3D *,., X) (аргументтерді есептеу); ...., x ,, x,) (циклдік ауыстыру (6) f, (k * p .. x 3D / y аргументтері)%; (c) /, (x. *) 3D / (, x) ( жалған дәлелді енгізу); (м / 4 (p * p-) 3 / (x, xrha-) (дәлелдерді сәйкестендіру .., com) 3. Артық сызықты сызықшаны пайдаланып қандай функцияларды алуға болады? 4. Қарапайым рекурсияның суперпозициясы мен схемаларының көмегімен x + 1, 2x және 5. функцияларын o және from-тен алу мүмкін еместігін дәлелдеңіз, келесі функциялардың бастапқы рекурсивті екенін дәлелдеңіз: (a) f (x)% 3D x + n; ( b) f (x) 3D n; (c) f (x, y)% 3D x + y; (d) f (x, y)% 3D x * y; (e) / (x, y) 3 x (мұнда 0 «3 1); (e) / (x)% 3D x! (мұнда 0! 3 1). және 6. g және h функциясының көмегімен қандай функция алынады? қарапайым рекурсия схемалары: (a) g (x)% 3D x, h (x, y, g) - 2 *%; (6) g (x)% 3D x, h (x, y, g)% 3 x *? S 7. Келесі функциялардың рекурсивті болатындығын дәлелдеңіз: | 0, егер x% 3D 0, | 1, егер x> 0%; (a) sg (x) 3D [0 болса, x> 0, 1, егер x 3 0; (6) 5E (x) (0, x - 1, егер x> 0; x% 3D 0 болса, ii. (C) x 1% 3D [0, (g) x - y% 3D | x - y егер xSy, егер x> y; (e) 1x - y1; (д) макс (х, у); (г) мин (х, у). тамақ 8. Төмендегі теңдеулерді дәлелдеңіз: (a) x - y% 3D s (x) –s (y)%;
Алгоритм теориясы 128 (6) x + (y- x)% 3y + (x - y) 3; (c) x (y + g)% 3 (x - y) - 23 (g) (x - y) - 2% 3D (x-) - y. «В» - қарабайыр рекурсивті функциялар. Дәлелдеу, n + 1 9. g келесі функциялар қарабайыр рекурсивті делік: X, + 1 (a) / «* 1 (k, x Kp3D 2 8 (*, ...) . *,); n 'n + i-0 \ S, in (xp ..., x,) in, ysz, (6) f «(y, r)% 3 13y 0, егер y> 2; (in ) / «+ t (x, x y y) wo ....,) ut) b (... wup). x,) егер ((y 8 (Xp ... ia (y, басқа жағдайларда; 0 X + 1 x, 03 Xde))) 3 P (% (g) / n + 1 (i0 P 8 (x, - .., x,) егер y <z, (e) / «*? (*, ..., x, y, 2)% 3D li-Dy егер y> z; (e) /» * « (x, B0, .....) P. Y ...., x ,, y, * n «Ut), Ym) SB (p x), егер a (y, 1-a (y, басқа жағдайларда, 0 10. Егер f шектелген i-оператордың көмегімен g және помощью рекурсивті функцияларынан алынатын болса, онда ол примитивті рекурсивті болады деп дәлелдеңіз. ,, ..., / функциялары кез келген оң сандар үшін келесі қасиетке ие болады делік х ,, .., осы n функциялардың біреуі және тек біреуі - 0. Біз g «функциясы егер анықталса, айтамыз
129 $ 1. Жартылай Рекурсивті Функциялар xp, егер / (x, * * 3D o, ...., x,), x,), if / (x, .x) 3D 0. Егер h, ... функциялары болса, дәлелдеңіз. , k, ..., примитивті рекурсивті, содан кейін g «примитивті рекурсивті болады. 12. Келесі функциялардың рекурсивті болатынын дәлелдеңіз: = x-ті у-ге бөлу арқылы мұндағы (а) - бөлінетін (b) ым (x, y) x-ны y-ге бөлудің қалған бөлігі (мұнда (x, 0)% 3 x) (c) m (x) (d) o (x) (e) Ih (x) (e) l (x) x-тен аспайтын жай сандар саны; (x) k (x, y) - k (x, 0)% 3Dk (0, y)% 3D0-тің ең аз кездесетін еселігі; (0, 0) 0; (u) p (x) - оныншы жай сан (p (0)% 3 2, p (1)% 3D 3, p (2)% 3D 5, ..); j) ұзын (х) - ең үлкен қарапайымдық o x; (l) exp (x, y) бөлгіші - x-тің p (x) функциясының экспоненті - x бөлгіштерінің саны, мұндағы m (0) 3D 0%; x бөлгіштерінің қосындысы, мұндағы х (0) 3D 0; x санының жай бөлгіштер саны, мұндағы Ih (0) - 0%; xi y, мұндағы сандар және y, y сандарының сандық бөлгіштері, мұндағы негізгі факторизация канондық cx (x, 0)% 3D 0; (м) [Vx); (n) [1, мұндағы [x13 x; (о) [xV2]%; (p) [e-x]%; (p) le *: (c) C (мұнда C% 3D 1 y2x). 13. а) (x + y) функциясының дәлелі? + 3x + y 2 s (x, y)% 3D s (Cantor нөмірлеу функциясы) және M (натурал сандар жұптары) арасындағы бір-біріне сәйкес келетін хат алмасуды жүзеге асырады. (b) 1 (x) және r (x) функциялары (1 (x), r (x)) - x-ге тең болатындай болсын. 5 I.A. Лавров, Л.Л. Максимова