Загрузка данных

**Задача 1**
**Как рисовать:** Чертим ромб ABCD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Из точки A вертикально вверх проводим высоту SA. Соединяем точку S с точками B, C, D и O.
**Дано:** ABCD — ромб. SA ⊥ (ABCD). SO = 6, AB = 5, BD = 8.
**Найти:** Доказать: (SBD) ⊥ (SAO); |1/2((вектор) AD + (вектор) AB) + (вектор) OS|; ∠ между прямыми SO и (ABC).
**Решение:**
По свойству ромба BD ⊥ AC, BO = BD / 2 = 4. В прямоуг. △AOB: AO = √(AB² - BO²) = √(25 - 16) = 3.
а) Док-во: BD ⊥ AC (св-во ромба), BD ⊥ SA (т.к. SA ⊥ (ABCD)). След-но, BD ⊥ (SAO). Т.к. пл. (SBD) проходит через BD, то (SBD) ⊥ (SAO).
б) Векторы: (вектор) AD + (вектор) AB = (вектор) AC. Тогда 1/2 * (вектор) AC = (вектор) AO. Сумма (вектор) AO + (вектор) OS = (вектор) AS. В прямоуг. △SAO (где SO — гипотенуза): |(вектор) AS| = SA = √(SO² - AO²) = √(36 - 9) = √27 = 3√3.
в) Угол: Проекция SO на (ABC) — это AO. Искомый ∠ — это ∠SOA. В △SAO: cos(∠SOA) = AO / SO = 3 / 6 = 1/2. Значит, ∠SOA = 60°.
**Задача 2**
**Как рисовать:** Чертим треугольник ABC. Находим центр O. Из точки O вертикально вверх проводим высоту SO. На ребре BC отмечаем середину M, проводим апофему SM и отрезок OM. Отмечаем точку K — середину отрезка SM, соединяем O и K.
**Дано:** SABC — прав. треуг. пирамида. Лин. ∠ при осн. = 60°. SO ⊥ (ABC), SM — апофема, K — сер. SM, OK = 3.
**Найти:** Sполн.
**Решение:**
∠SMO = 60°. В прямоуг. △SOM OK — медиана к гипотенузе SM, поэтому SM = 2 * OK = 6.
Катет OM = SM * cos(60°) = 6 * 1/2 = 3. OM — радиус впис. окр. (r) для △ABC. Сторона a = r * 2√3 = 6√3.
P = 3 * a = 18√3.
Sосн = a²√3 / 4 = 108√3 / 4 = 27√3.
Sбок = 1/2 * P * SM = 1/2 * 18√3 * 6 = 54√3.
Sполн = Sосн + Sбок = 27√3 + 54√3 = 81√3.
**Задача 3**
**Построение:** Чертим правильный тетраэдр DABC. Отмечаем середину M на ребре AD и середину N на ребре AB.
Т.к. сечение || AC, линии пересеч. с гранями ADC и ABC || AC.
В плоскости (ADC) проводим прямую MP || AC (это средняя линия △ADC, точка P — середина DC).
В плоскости (ABC) проводим прямую NQ || AC (это средняя линия △ABC, точка Q — середина BC).
Соединяем точки M, N, Q, P. Прямоугольник MNQP — искомое сечение.