---

Для решения неравенства с параметром \((x^2-4x)^2-(a^2-3a)(x^2-4x)+a^3-4a^2 \le 0\) выполним замену переменной, чтобы свести задачу к более простой квадратной форме.

Шаг 1: Замена переменной и разложение на множители

Пусть \(t = x^2 - 4x\). Тогда неравенство принимает вид:
\(t^{2}-(a^{2}-3a)t+a^{3}-4a^{2}\le 0\)
Найдем корни соответствующего квадратного трехчлена относительно \(t\) с помощью теоремы Виета или через дискриминант:
• Сумма корней: \(t_1 + t_2 = a^2 - 3a\)
• Произведение корней: \(t_1 \cdot t_2 = a^3 - 4a^2 = a(a^2 - 4a)\)
Отсюда легко видны корни:
\(t_{1}=a,\quad t_{2}=a^{2}-4a\)
Следовательно, неравенство можно записать как \((t - a)(t - (a^2 - 4a)) \le 0\). Решением этого неравенства является промежуток между корнями (включая концы), то есть \(t\) лежит в пределах от меньшего корня до большего.

Шаг 2: Сравнение корней \(t_{1}\) и \(t_{2}\)

Чтобы понять, какой корень меньше, найдем их разность:
\(t_{2}-t_{1}=(a^{2}-4a)-a=a^{2}-5a=a(a-5)\)
• Если \(a < 0\) или \(a > 5\), то \(t_2 > t_1\), следовательно: \(a \le t \le a^2 - 4a\).
• Если \(0 < a < 5\), то \(t_1 > t_2\), следовательно: \(a^2 - 4a \le t \le a\).
• Если \(a = 0\) или \(a = 5\), то \(t_1 = t_2\), следовательно: \(t = a\).

Шаг 3: Возврат к переменной \(x\)

Нам предстоит решать двойные неравенства вида \(A \le x^2 - 4x \le B\), что эквивалентно системе:
\(\begin{cases}x^{2}-4x-B\le 0\\ x^{2}-4x-A\ge 0\end{cases}\)
Заметим, что выражение \(x^2 - 4x\) принимает минимальное значение в вершине параболы, равное \(-4\) (при \(x=2\)).
• Неравенство \(x^2 - 4x \le B\) имеет решения только если \(B \ge -4\), и его решением будет отрезок \([2 - \sqrt{4+B}; 2 + \sqrt{4+B}]\).
• Неравенство \(x^2 - 4x \ge A\) при \(A < -4\) выполняется при всех \(x \in \mathbb{R}\), а при \(A \ge -4\) его решением являются лучи \((-\infty; 2 - \sqrt{4+A}] \cup [2 + \sqrt{4+A}; +\infty)\).
Критические точки для параметра \(a\) определяются условиями равенства границ значению \(-4\):
1. \(a = -4\)
2. \(a^2 - 4a = -4 \implies (a-2)^2 = 0 \implies a = 2\)
Совмещая все граничные точки (\(a = -4, 0, 2, 5\)), разберем задачу по промежуткам:

1. Если \(a < -4\)

В этом случае \(a \le t \le a^2 - 4a\), причем \(a < -4\), а \(a^2 - 4a > 32 > -4\).
Система принимает вид:
\(\begin{cases}x^{2}-4x\le a^{2}-4a\\ x^{2}-4x\ge a\end{cases}\)
Поскольку \(a < -4\), второе неравенство выполняется для всех \(x\). Из первого получаем:
\(x \in [2 - \sqrt{a^2 - 4a + 4}; 2 + \sqrt{a^2 - 4a + 4}] \implies x \in [2 - \vert{}a-2\vert{}; 2 + \vert{}a-2\vert{}]\)
Так как \(a < -4\), то \(\vert{}a-2\vert{} = 2 - a\).
Ответ: \(x \in [a; 4 - a]\)

2. Если \(a = -4\)

Корни равны \(t_1 = -4\) и \(t_2 = 32\). Двойное неравенство: \(-4 \le x^2 - 4x \le 32\).
• \(x^2 - 4x \ge -4 \implies (x-2)^2 \ge 0\) (верно всегда).
• \(x^2 - 4x \le 32 \implies x^2 - 4x - 32 \le 0 \implies x \in [-4; 8]\).
Ответ: \(x \in [-4; 8]\)

3. Если \(-4 < a < 0\)

Здесь \(a \le t \le a^2 - 4a\), причем обе границы больше \(-4\).
Система:
\(\begin{cases}x^{2}-4x\le a^{2}-4a\\ x^{2}-4x\ge a\end{cases}\)
Решая оба неравенства через корни соответствующих квадратных уравнений, получаем пересечение:
Ответ: \(x \in [2 - \sqrt{a^2 - 4a + 4}; 2 - \sqrt{4+a}] \cup [2 + \sqrt{4+a}; 2 + \sqrt{a^2 - 4a + 4}]\)
Учитывая, что при \(a < 0 \implies \vert{}a-2\vert{} = 2-a\):
Ответ: \(x \in [a; 2 - \sqrt{4+a}] \cup [2 + \sqrt{4+a}; 4 - a]\)

4. Если \(a = 0\)

Тогда \(t_1 = t_2 = 0\), то есть \(t = 0 \implies x^2 - 4x = 0\).
Ответ: \(x = 0; \ 4\)

5. Если \(0 < a < 2\)

В этом интервале порядок корней меняется: \(a^2 - 4a \le t \le a\). При этом \(a > 0\), а для нижней границы: \(-4 < a^2 - 4a < 0\).
Система:
\(\begin{cases}x^{2}-4x\le a\\ x^{2}-4x\ge a^{2}-4a\end{cases}\)
Корни уравнения \(x^2 - 4x - (a^2 - 4a) = 0\) — это \(x = a\) и \(x = 4 - a\).
Ответ: \(x \in [2 - \sqrt{4+a}; a] \cup [4 - a; 2 + \sqrt{4+a}]\)

6. Если \(a = 2\)

Тогда \(t_1 = 2\), \(t_2 = -4\). Двойное неравенство: \(-4 \le x^2 - 4x \le 2\).
• \(x^2 - 4x \ge -4 \implies x \in \mathbb{R}\).
• \(x^2 - 4x \le 2 \implies x \in [2 - \sqrt{6}; 2 + \sqrt{6}]\).
Ответ: \(x \in [2 - \sqrt{6}; 2 + \sqrt{6}]\)

7. Если \(2 < a < 5\)

Снова \(a^2 - 4a \le t \le a\), но теперь \(a^2 - 4a\) возрастает от \(-4\) до \(5\). Решение аналогично пункту 5, но меняется раскрытие модулей для линейных корней (\(a > 4-a\)).
Ответ: \(x \in [2 - \sqrt{4+a}; 4 - a] \cup [a; 2 + \sqrt{4+a}]\)

8. Если \(a = 5\)

Тогда \(t_1 = t_2 = 5\), получаем уравнение \(x^2 - 4x = 5 \implies x^2 - 4x - 5 = 0\).
Ответ: \(x = -1; \ 5\)

9. Если \(a > 5\)

Порядок корней: \(a \le t \le a^2 - 4a\), где обе границы строго больше \(5\) (и больше \(-4\)).
Система:
\(\begin{cases}x^{2}-4x\le a^{2}-4a\\ x^{2}-4x\ge a\end{cases}\)
Поскольку \(a > 5\), то \(\vert{}a-2\vert{} = a-2\), значит корни внешней границы равны \(2 - (a-2) = 4-a\) и \(2 + (a-2) = a\).
Ответ: \(x \in [4 - a; 2 - \sqrt{4+a}] \cup [2 + \sqrt{4+a}; a]\)

Финальный ответ (Сводка)

• При \(a < -4\): \(x \in [a; 4 - a]\)
• При \(a = -4\): \(x \in [-4; 8]\)
• При \(-4 < a < 0\): \(x \in [a; 2 - \sqrt{4+a}] \cup [2 + \sqrt{4+a}; 4 - a]\)
• При \(a = 0\): \(x \in \{0; 4\}\)
• При \(0 < a < 2\): \(x \in [2 - \sqrt{4+a}; a] \cup [4 - a; 2 + \sqrt{4+a}]\)
• При \(a = 2\): \(x \in [2 - \sqrt{6}; 2 + \sqrt{6}]\)
• При \(2 < a < 5\): \(x \in [2 - \sqrt{4+a}; 4 - a] \cup [a; 2 + \sqrt{4+a}]\)
• При \(a = 5\): \(x \in \{-1; 5\}\)
• При \(a > 5\): \(x \in [4 - a; 2 - \sqrt{4+a}] \cup [2 + \sqrt{4+a}; a]\)
Если какой-то из шагов раскрытия неравенств или вычисления корней вызвал затруднения, дайте знать — я распишу этот конкретный промежуток более подробно!
Показать код